（五） 抽屜問題

　　如果將5個蘋果放到3個抽屜中去，那么不管怎么放，至少有一個抽屜中放的蘋果不少于2個。道理很簡單，如果每個抽屜中放的蘋果都少于2個，即放1個或不放，那么3個抽屜中放的蘋果的總數將少于或等于3，這與有5個蘋果的已知條件相矛盾，因此至少有一個抽屜中放的蘋果不少于2個。

　　同樣，有5只鴿子飛進4個鴿籠里，那么一定有一個鴿籠至少飛進了2只鴿子。

　　以上兩個簡單的例子所體現的數學原理就是"抽屜原理"，也叫"鴿籠原理"。

　　抽屜原理1：將多于n件的物品任意放到n個抽屜中，那么至少有一個抽屜中的物品不少于2件。

　　說明這個原理是不難的。假定這n個抽屜中，每一個抽屜內的物品都不到2件，那么每一個抽屜中的物品或者是一件，或者沒有。這樣，n個抽屜中所放物品的總數就不會超過n件，這與有多于n件物品的假設相矛盾，所以前面假定"這n個抽屜中，每一個抽屜內的物品都不到2件"不能成立，從而抽屜原理1成立。

　　從最不利原則也可以說明抽屜原理1。為了使抽屜中的物品不少于2件，最不利的情況就是n個抽屜中每個都放入1件物品，共放入n件物品，此時再放入1件物品，無論放入哪個抽屜，都至少有1個抽屜不少于2件物品。這就說明了抽屜原理1。

　　一、例題與方法指導

　　例1.    某幼兒園有367名1996年出生的小朋友，是否有生日相同的小朋友？

　　分析與解：1996年是閏年，這年應有366天。把366天看作366個抽屜，將367名小朋友看作367個物品。這樣，把367個物品放進366個抽屜里，至少有一個抽屜里不止放一個物品。因此至少有2名小朋友的生日相同。

　　例2.    在任意的四個自然數中，是否其中必有兩個數，它們的差能被3整除？

　　分析與解：因為任何整數除以3，其余數只可能是0，1，2三種情形。我們將余數的這三種情形看成是三個"抽屜"。一個整數除以3的余數屬于哪種情形，就將此整數放在那個"抽屜"里。

　　將四個自然數放入三個抽屜，至少有一個抽屜里放了不止一個數，也就是說至少有兩個數除以3的余數相同。這兩個數的差必能被3整除。

　　例3.    在任意的五個自然數中，是否其中必有三個數的和是3的倍數？

　　分析與解：根據例2的討論，任何整數除以3的余數只能是0，1，2。現在，對于任意的五個自然數，根據抽屜原理，至少有一個抽屜里有兩個或兩個以上的數，于是可分下面兩種情形來加以討論。

　　第一種情形。有三個數在同一個抽屜里，即這三個數除以3后具有相同的余數。因為這三個數的余數之和是其中一個余數的3倍，故能被3整除，所以這三個數之和能被3整除。

　　第二種情形。至多有兩個數在同一個抽屜里，那么每個抽屜里都有數，在每個抽屜里各取一個數，這三個數被3除的余數分別為0，1，2。因此這三個數之和能被3整除。

　　綜上所述，在任意的五個自然數中，其中必有三個數的和是3的倍數。

　　二、鞏固訓練

　　1.    有蘋果和桔子若干個，任意分成5堆，能否找到這樣兩堆，使蘋果的總數與桔子的總數都是偶數？

　　分析與解：由于題目只要求判斷兩堆水果的個數關系，因此可以從水果個數的奇、偶性上來考慮抽屜的設計。

　　對于每堆水果中的蘋果、桔子的個數分別都有奇數與偶數兩種可能，所以每堆水果中蘋果、桔子個數的搭配就有4種情形：

　　（奇，奇），（奇，偶），（偶，奇），（偶，偶），

　　其中括號中的第一個字表示蘋果數的奇偶性，第二個字表示桔子數的奇偶性。

　　將這4種情形看成4個抽屜，現有5堆水果，根據抽屜原理可知，這5堆水果里至少有2堆屬于上述4種情形的同一種情形。由于奇數加奇數為偶數，偶數加偶數仍為偶數，所以在同一個抽屜中的兩堆水果，其蘋果的總數與桔子的總數都是偶數。

　　2.    用紅、藍兩種顏色將一個2×5方格圖中的小方格隨意涂色（見右圖），每個小方格涂一種顏色。是否存在兩列，它們的小方格中涂的顏色完全相同？

　　分析與解：用紅、藍兩種顏色給每列中兩個小方格隨意涂色，只有下面四種情形：

　　將上面的四種情形看成四個"抽屜"。根據抽屜原理，將五列放入四個抽屜，至少有一個抽屜中有不少于兩列，這兩列的小方格中涂的顏色完全相同。

　　在上面的幾個例子中，例1用一年的366天作為366個抽屜；例2與例3用整數被3除的余數的三種情形0，1，2作為3個抽屜；例4將一條線段的10等份作為10個抽屜；例5把每堆水果中，蘋果數與桔子數的奇偶搭配情形作為4個抽屜；例6將每列中兩個小方格涂色的4種情形作為4個抽屜。由此可見，利用抽屜原理解題的關鍵，在于恰當地構造抽屜。

　　3.    在長度是10厘米的線段上任意取11個點，是否至少有兩個點，它們之間的距離不大于1厘米？

　　分析與解：把長度10厘米的線段10等分，那么每段線段的長度是1厘米（見下圖）。

　　將每段線段看成是一個"抽屜"，一共有10個抽屜。現在將這11個點放到這10個抽屜中去。根據抽屜原理，至少有一個抽屜里有兩個或兩個以上的點（包括這些線段的端點）。由于這兩個點在同一個抽屜里，它們之間的距離當然不會大于1厘米。

　　所以，在長度是10厘米的線段上任意取11個點，至少存在兩個點，它們之間的距離不大于1厘米。

　　三、拓展提升

　　1.    有5個小朋友，每人都從裝有許多黑白圍棋子的布袋中任意摸出3枚棋子.請你證明，這5個人中至少有兩個小朋友摸出的棋子的顏色的配組是一樣的。

　　分析與解答 首先要確定3枚棋子的顏色可以有多少種不同的情況，可以有：3黑，2黑1白，1黑2白，3白共4種配組情況，看作4個抽屜.把每人的3枚棋作為一組當作一個蘋果，因此共有5個蘋果.把每人所拿3枚棋子按其顏色配組情況放入相應的抽屜.由于有5個蘋果，比抽屜個數多，所以根據抽屜原理，至少有兩個蘋果在同一個抽屜里，也就是他們所拿棋子的顏色配組是一樣的。

　　2.    一副撲克牌（去掉兩張王牌），每人隨意摸兩張牌，至少有多少人才能保證他們當中一定有兩人所摸兩張牌的花色情況是相同的？

　　分析與解答 撲克牌中有方塊、梅花、黑桃、紅桃4種花色，2張牌的花色可以有：2張方塊，2張梅花，2張紅桃，2張黑桃，1張方塊1張梅花，1張方塊1張黑桃，1張方塊1張紅桃，1張梅花1張黑桃，1張梅花1張紅桃，1張黑桃1張紅桃共計10種情況.把這10種花色配組看作10個抽屜，只要蘋果的個數比抽屜的個數多1個就可以有題目所要的結果.所以至少有11個人。

　　3.    從2、4、6、…、30這15個偶數中，任取9個數，證明其中一定有兩個數之和是34。

　　分析與解答 我們用題目中的15個偶數制造8個抽屜：

　　凡是抽屜中有兩個數的，都具有一個共同的特點：這兩個數的和是34。

　　現從題目中的15個偶數中任取9個數，由抽屜原理（因為抽屜只有8個），必有兩個數在同一個抽屜中.由制造的抽屜的特點，這兩個數的和是34。

　　（六） 邏輯推理

　　曾經愛因斯坦出過一道測試題, 他說世界上有98%的人回答不出!!讓我們一起來看看是什么題呢。

　　在一條街上有5座顏色不同的房子，住著5個不同國家的人，他們抽著5種不同的煙，喝著5種不同的飲料，養著5種不同的寵物。有下面15個已知條件，求解。

　　1、英國人住紅色房子。

　　2、瑞典人養狗。

　　3、丹麥人喝茶。

　　4、綠色房子在白色房子左面。

　　5、綠色房子主人喝咖啡。

　　6、抽Pall Mall香煙的人養鳥。