三、拓展提升

　　1. 緊接著1989后面一串數字，寫下的每個數字都是它前面兩個數字的乘積的個位數.例如8 9=72,在9后面寫2,9 2=18,在2后面寫8,……得到一串數字:

　　1  9  8  9  2  8  6……

　　這串數字從1開始往右數，第1989個數字是什么？

　　2. 1991個1990相乘所得的積與1990個1991相乘所得的積，再相加的和末兩位數是多少？

　　3. 設n=2 2 2 …… 2，那么n的末兩位數字是多少？

　　1991個

　　4．在一根長100厘米的木棍上，自左至右每隔6厘米染一個紅點，同時自右至左每隔5厘米也染一個紅點，然后沿紅點處將木棍逐段鋸開，那么長度是1厘米的短木棍有多少根？

　　答案：11.  依照題述規則多寫幾個數字:

　　1989286884286884……

　　可見1989后面的數總是不斷循環重復出現286884，每6個一組，即循環周期為6.因為(1989-4) 6=330…5，所以所求數字是8.

　　12.  1991個1990相乘所得的積末兩位是0,我們只需考察1990個1991相乘的積末兩位數即可.1個1991末兩位數是91,2個1991相乘的積末兩位數是81,3個1991相乘的積末兩位數是71,4個至10個1991相乘的積的末兩位數分別是61,51,41,31,21,11,01,11個1991相乘積的末兩位數字是91，……，由此可見，每10個1991相乘的末兩位數字重復出現，即周期為10.因為1990 10=199,所以1990個1991相乘積的末兩位數是01,即所求結果是01.

　　13.  n是1991個2的連乘積,可記為n=21991,首先從2的較低次冪入手尋找規律,列表如下:

　　n    n的十位數字    n的個位數字    n    n的十位數字    n的個位數字

　　21    0    2    212    9    6

　　22    0    4    213    9    2

　　23    0    8    214    8    4

　　24    1    6    215    6    8

　　25    3    2    216    3    6

　　26    6    4    217    7    2

　　27    2    8    218    4    4

　　28    5    6    219    8    8

　　29    1    2    220    7    6

　　210    2    4    221    5    2

　　211    4    8    222    0    4

　　觀察上表,容易發現自22開始每隔20個2的連乘積,末兩位數字就重復出現,周期為20.因為1990 20=99…10，所以21991與211的末兩位數字相同，由上表知211的十位數字是4，個位數字是8.所以,n的末兩位數字是48.

　　14.  因為100能被5整除,所以自右至左染色也就是自左至右染色.于是我們可以看作是從同一端點染色.

　　6與5的最小公倍數是30,即在30厘米的地方,同時染上紅色,這樣染色就會出現循環,每一周的長度是30厘米,如下圖所示.

　　由圖示可知長1厘米的短木棍,每一周期中有兩段,如第1周期中,6-5=1,5 5-6 4=1.剩余10厘米中有一段.所以鋸開后長1厘米的短木棍共有7段.綜合算式為:

　　2 [(100-10) 30]+1

　　=2 3+1

　　=7(段)

　　[注]解決這一問題的關鍵是根據整除性把自右向左每隔5厘米的染色,轉化為自左向右的染色,便于利用最小公倍數發現周期現象,化難為易.

　　（十三） 棋盤中的數學

　　所謂棋盤，常見的有中國象棋棋盤（下圖（1）），圍棋盤（下圖（2））， 還

　　有國際象棋棋盤（下圖（3））．以這些棋盤為背景而提出的問題統稱為棋盤問

　　題．這里面與數學推理、計算相關的棋盤問題，就叫做棋盤中的數學問題．解

　　決棋盤中的數學問題所使用的數學知識，統稱棋盤中的數學．

　　今天，我們就簡單介紹關于棋盤中的覆蓋問題。

　　用某種形狀的卡片，按一定要求將棋盤覆蓋住，就是棋盤的覆蓋問題。實際上，這里并不要求一定是某種棋盤，只要是有關覆蓋若干行、若干列的方格網的問題，就是棋盤的覆蓋問題。

　　棋盤的覆蓋問題可以分為兩類：一是能不能覆蓋的問題，二是有多少種不同的覆蓋方法問題。

　　一、例題與方法指導

　　例1.    要不重疊地剛好覆蓋住一個正方形，最少要用多少個下圖所示的圖形？

　　思路導航：

　　因為圖形由3個小方格構成，所以要拼成的正方形內所含的小方格數應是3的倍數，從而正方形的邊長應是3的倍數。經試驗，不可能拼成邊長為3的正方形。所以拼成的正方形的邊長最少是6（見下圖），需要用題目所示的圖形

　　36÷3= 12（個）。

　　思路導航：

　　在五年級學習"奇偶性"時已經講過類似問題。左上圖共有34個小方格，17個1×2的卡片也有34個小方格，好象能覆蓋住。我們將左上圖黑白相間染色，得到右上圖。細心觀察會發現，右上圖中黑格有16個，白格有18個，而1×2的卡片每次只能蓋住一個黑格與一個白格，所以17個1×2的卡片應當蓋住黑、白格各17個，不可能蓋住左上圖。

　　例3.    下圖的七種圖形都是由4個相同的小方格組成的。現在要用這些圖形拼成一個4×7的長方形（可以重復使用某些圖形），那么，最多可以用上幾種不同的圖形？

　　思路導航：

　　先從簡單的情形開始考慮。顯然，只用1種圖形是可以的，例如用7個（7）；用2種圖形也沒問題，例如用1個（7），6個（1）。經試驗，用6種圖形也可以拼成4×7的長方形（見下圖）。

　　能否將7種圖形都用上呢？7個圖形共有4×7=28（個）小方格，從小方格的數量看，如果每種圖形用1個，那么有可能拼成4×7的長方形。但事實上卻拼不成。為了說明，我們將4×7的長方形黑、白相間染色（見右圖），圖中黑、白格各有14個。在7種圖形中，除第（2）種外，每種圖形都覆蓋黑、白格各2個，共覆蓋黑、白格各12個，還剩下黑、白格各2個。第（2）種圖形只能覆蓋3個黑格1個白格或3個白格1個黑格，因此不可能覆蓋住另6種圖形覆蓋后剩下的2個黑格2個白格。

　　綜上所述，要拼成 4×7的長方形，最多能用上 6種圖形。

　　例4.    用1×1，2×2，3×3的小正方形拼成一個11×11的大正方形，最少要用1×1的正方形多少個？

　　思路導航：

　　用3個2×2正方形和2個3×3正方形可以拼成1個5×6的長方形（見左下圖）。用4個5×6的長方形和1 個 1×1的正方形可以拼成 1個11×11的大正形（見右下圖）。

　　上面說明用1個1×1的正方形和若干2×2，3×3的正方形可以拼成 11×11的大正方形。那么，不用1×1的正方形，只用2×2，3×3的正方形可以拼成11×11的正方形嗎？

　　將11×11的方格網每隔兩行染黑一行（見下頁右上圖）。將2×2或3×3的正方形沿格線放置在任何位置，都將覆蓋住偶數個白格，所以無論放置多少個2×2或3×3的正方形，覆蓋住的白格數量總是偶數個。但是，右圖中的白格有11×7=77（個），是奇數，矛盾。由此得到，不用1×1的正方形不可能拼成11×11的正方形。

　　綜上所述，要拼成11×11的正方形，至少要用1個1×1的小正方形。

　　二、鞏固訓練

　　1.    用七個1×2的小長方形覆蓋下圖，共有多少種不同的覆蓋方法？

　　分析與解：盲目無章的試驗，很難搞清楚。我們采用分類討論的方法。

　　如下圖所示，蓋住A所在的小格只有兩種情況，其中左下圖中①②兩個小長方形只能如圖覆蓋，其余部分有4種覆蓋方法：右下圖中①②③三個小長方形只能如圖覆蓋，其余部分有3種覆蓋方法。所以，共有7種不同覆蓋方法。

　　2.    有許多邊長為1厘米、2厘米、3厘米的正方形硬紙片。用這些硬紙片拼成一個長5厘米、寬3厘米的長方形的紙板，共有多少種不同的拼法？（通過旋轉及翻轉能相互得到的拼法認為是相同的拼法）

　　解：有一個邊長3厘米紙片有如下3種拼法：

　　有兩個邊長2厘米紙片的有如下4種拼法：

　　有一個邊長2厘米及11個邊長1厘米紙片的有2種拼法，邊長全是1 厘米紙片的有1種拼法。

　　共有不同的拼法3＋4＋2+1=10（種）。