根據題意,兩個四位數相乘其積的位數是七位數或八位數兩種可能.

　　因為3456=384 9,所以任何一個四位數乘3456,其積一定能被9整除,根據能被9整除的數的特征,可知其積的各位數字之和A也能被9整除,所以A有以下八種可能取值:9,18,27,36,45,54,63,72.從而A的各位數字之和B總是9,B的各位數字之和C也總是9.

　　4.  9

　　∵0+1+4+7+9=21能被3整除,∴從中去掉0或9選出的兩組四個數字組成的四位數能被3整除.即有0,1,4,7或1,4,7,9兩種選擇組成四位數,由小到大排列為:1047,1074,1407,1470,1479,1497….所以第五個數的末位數字是9.

　　三、拓展提升

　　1.    找出四個互不相同的自然數,使得對于其中任何兩個數,它們的和總可以被它們的差整除,如果要求這四個數中最大的數與最小的數的和盡可能的小,那么這四個數里中間兩個數的和是多少？

　　2．    只修改21475的某一位數字,就可知使修改后的數能被225整除,怎樣修改？

　　3．    500名士兵排成一列橫隊.第一次從左到右1、2、3、4、5（1至5）名報數；第二次反過來從右到左1、2、3、4、5、6（1至6）報數，既報1又報6的士兵有多少名？

　　4.    試問,能否將由1至100這100個自然數排列在圓周上,使得在任何5個相連的數中,都至少有兩個數可被3整除？如果回答："可以"，則只要舉出一種排法；如果回答："不能"，則需給出說明.

　　答案

　　1.    如果最小的數是1,則和1一起能符合"和被差整除"這一要求的數只有2和3兩數，因此最小的數必須大于或等于2.我們先考察2、3、4、5這四個數,仍不符合要求,因為5+2=7,不能被5-2=3整除.再往下就是2、3、4、6,經試算,這四個數符合要求.所以,本題的答案是(3+4)=7.

　　2.    因為225=25 9,要使修改后的數能被25整除,就要既能被25整除,又能被9整除,被25整除不成問題,末兩位數75不必修改,只要看前三個數字即可,根據某數的各位數字之和是9的倍數,則這個數能被9整除的特征,因為2+1+4+7+5=19,19=18+1,19=27-8,所以不難排出以下四種改法:把1改為0；把4改為3；把1改為9；把2改為1.

　　3.    若將這500名士兵從右到左依次編號,則第一次報數時,編號能被5整除的士兵報1；第二次報數時，編號能被6整除的士兵報6，所以既報1又報6的士兵的編號既能被5整除又能被6整除，即能被30整除，在1至500這500個自然數中能被30整除的數共有16個，所以既報1又報6的士兵共有16名.

　　4.    不能.

　　假設能夠按照題目要求在圓周上排列所述的100個數,我們來按所排列順序將它們每5個分為一組,可得20組,其中每兩組都沒有共同的數,于是,在每一組的5個數中都至少有兩個數是3 的倍數.從而一共有不少于40個數是3 的倍數.但事實上,在1至100的自然數中有33個數是3的倍數,導致矛盾.

　　（二） 數字謎

　　小朋友們都玩過字謎吧，就是一種文字游戲，例如"空中碼頭"（打一城市名）。謎底你還記得嗎？記不得也沒關系，想想"空中"指什么？"天"。這個地名第1個字可能是天。"碼頭"指什么呢？碼頭又稱渡口，聯系這個地名開頭是"天"字，容易想到"天津"這個地名，而"津"正好又是"渡口"的意思。這樣謎底就出來了：天津。

　　算式謎又被稱為"蟲食算"，意思是說一道算式中的某些數字被蟲子吃掉了無法辨認，需要運用四則運算各部分之間的關系，通過推理判定被吃掉的數字，把算式還原。"蟲食算"主要指橫式算式謎和豎式算式謎，其中未知的數字常常用□、△、☆等圖形符號或字母表示。文字算式謎是前兩種算式謎的延伸，用文字或字母來代替未知的數字，在同一道算式中不同的文字或字母表示不同的數字，相同的數字或字母表示同一個數字。文字算式謎也是最難的一種算式謎。

　　在數學里面，文字也可以組成許許多多的數學游戲，就讓我們一起來看看吧。

　　①    橫式字謎

　　一、例題與方法指導

　　例1 □，□8，□97在上面的3個方框內分別填入恰當的數字，可以使得這3個數的平均數是150。那么所填的3個數字之和是多少？

　　思路導航：150*3-8-97-5=340

　　所以3個數之和為3+4+5=12。

　　例2 在下列算式的□中填上適當的數字，使得等式成立：

　�。�1）6□□4÷56=□0□，

　�。�2）7□□8÷37=□1□，

　�。�3）3□□3÷2□=□17，

　�。�4）8□□□÷58=□□6。

　　分析：（1） 6104/56=109

　�。�2）7548/37=204

　　（3） 3393/29=117

　�。�4）8468/58=146

　　例3  在算式40796÷□□□=□99……98的各個方框內填入適當的數字后，就可以使其成為正確的等式。求其中的除數。

　　分析：40796/102=399...98。

　　例4  我學數學樂×我學數學樂=數數數學數數學學數學

　　在上面的乘法算式中，"我、學、數、樂"分別代表的4個不同的數字。如果"樂"代表9，那么"我數學"代表的三位數是多少？

　　分析：學=1，我=8，數=6  ，81619*81619=6661661161

　　例5  □÷（□÷□÷□）=24在式中的4個方框內填入4個不同的一位數，使左邊的數比右邊的數小，并且等式成立。

　　思路導航：

　　這樣，我們可以先用字母代替數字，原等式寫成：a/(b/c/d)=a/(b/c*d)=a*c*d/b，(a<b<c<d)

　　當a=1時，有6*8/2=24，8*9/3=24；

　　當a=2時，有4*9/3=12，6*8/4=12，8*9/6=12；

　　所以，滿足要求的等式有：1÷（2÷6÷8）=24，1÷（3÷8÷9）=24，2÷（3÷4÷9）=24，2÷（4÷6÷8）=24，2÷（6÷8÷9）=24。

　　例6 ① □×□=5□；② 12+□－□=□，把1至9這9個數字分別填入上面兩個算式的各個方框中，使等式成立，這里有3個數字已經填好。

　　分析：根據第一個等式，只有兩種可能：7*8=56，6*9=54；如果為7*8=56，則余下的數字有：3、4、9，顯然不行；而當6*9=54時，余下的數字有：3、7、8，那么，12+3-7=8或12+3-8=7都能滿足。

　　二、訓練鞏固

　　1. 迎迎×春春=杯迎迎杯，數數×學學=數賽賽數，春春×春春=迎迎賽賽

　　在上面的3個算式中，相同的漢字代表相同的數字，不同的漢字代表不同的數字。如果這3個等式都成立，那么，"迎+春+杯+數+學+賽"等于多少？

　　分析：考察上面三個等式，可以從最后一個等式入手：能夠滿足：春春×春春=迎迎賽賽 的只有88*88=7744，于是，春=8，迎=7，賽=4；這樣，不難得到第一個為：77*88=6776，第二個為：55*99=5445；

　　所以，迎+春+杯+數+學+賽=7+8+6+5+9+4=39。

　　2. 迎+春×春=迎春，（迎+杯）×（迎+杯）=迎杯

　　在上面的兩個橫式中，相同的漢字代表相同的數字，不同的漢字代表不同的數字。那么"迎+春+杯"等于多少？

　　分析：同樣可以從第二個算式入手，發現滿足要求的只有（8+1）*（8+1）=81，于是，迎=8；

　　這樣，第一個算式顯然只有：8+9*9=89；所以，迎+春+杯=8+9+1=18。

　　三、拓展提升

　　1.在下列各式的□中分別填入相同的兩位數：

　　(1)5×□=2□；            (2)6×□＝3□。

　　2.將3～9中的數填入下列各式，使算式成立，要求各式中無重復的數字：

　　(1)□÷□=□÷□；        (2)□÷□＞□÷□。

　　3.在下列各式的□中填入合適的數字：

　　(1)448÷□□=□；            (2)2822÷□□=□□；