例2.    在任意的四個(gè)自然數(shù)中，是否其中必有兩個(gè)數(shù)，它們的差能被3整除？

　　分析與解：因?yàn)槿魏握麛?shù)除以3，其余數(shù)只可能是0，1，2三種情形。我們將余數(shù)的這三種情形看成是三個(gè)"抽屜"。一個(gè)整數(shù)除以3的余數(shù)屬于哪種情形，就將此整數(shù)放在那個(gè)"抽屜"里。

　　將四個(gè)自然數(shù)放入三個(gè)抽屜，至少有一個(gè)抽屜里放了不止一個(gè)數(shù)，也就是說(shuō)至少有兩個(gè)數(shù)除以3的余數(shù)相同。這兩個(gè)數(shù)的差必能被3整除。

　　例3.    在任意的五個(gè)自然數(shù)中，是否其中必有三個(gè)數(shù)的和是3的倍數(shù)？

　　分析與解：根據(jù)例2的討論，任何整數(shù)除以3的余數(shù)只能是0，1，2。現(xiàn)在，對(duì)于任意的五個(gè)自然數(shù)，根據(jù)抽屜原理，至少有一個(gè)抽屜里有兩個(gè)或兩個(gè)以上的數(shù)，于是可分下面兩種情形來(lái)加以討論。

　　第一種情形。有三個(gè)數(shù)在同一個(gè)抽屜里，即這三個(gè)數(shù)除以3后具有相同的余數(shù)。因?yàn)檫@三個(gè)數(shù)的余數(shù)之和是其中一個(gè)余數(shù)的3倍，故能被3整除，所以這三個(gè)數(shù)之和能被3整除。

　　第二種情形。至多有兩個(gè)數(shù)在同一個(gè)抽屜里，那么每個(gè)抽屜里都有數(shù)，在每個(gè)抽屜里各取一個(gè)數(shù)，這三個(gè)數(shù)被3除的余數(shù)分別為0，1，2。因此這三個(gè)數(shù)之和能被3整除。

　　綜上所述，在任意的五個(gè)自然數(shù)中，其中必有三個(gè)數(shù)的和是3的倍數(shù)。

　　二、鞏固訓(xùn)練

　　1.    有蘋果和桔子若干個(gè)，任意分成5堆，能否找到這樣兩堆，使蘋果的總數(shù)與桔子的總數(shù)都是偶數(shù)？

　　分析與解：由于題目只要求判斷兩堆水果的個(gè)數(shù)關(guān)系，因此可以從水果個(gè)數(shù)的奇、偶性上來(lái)考慮抽屜的設(shè)計(jì)。

　　對(duì)于每堆水果中的蘋果、桔子的個(gè)數(shù)分別都有奇數(shù)與偶數(shù)兩種可能，所以每堆水果中蘋果、桔子個(gè)數(shù)的搭配就有4種情形：

　　（奇，奇），（奇，偶），（偶，奇），（偶，偶），

　　其中括號(hào)中的第一個(gè)字表示蘋果數(shù)的奇偶性，第二個(gè)字表示桔子數(shù)的奇偶性。

　　將這4種情形看成4個(gè)抽屜，現(xiàn)有5堆水果，根據(jù)抽屜原理可知，這5堆水果里至少有2堆屬于上述4種情形的同一種情形。由于奇數(shù)加奇數(shù)為偶數(shù)，偶數(shù)加偶數(shù)仍為偶數(shù)，所以在同一個(gè)抽屜中的兩堆水果，其蘋果的總數(shù)與桔子的總數(shù)都是偶數(shù)。

　　2.    用紅、藍(lán)兩種顏色將一個(gè)2×5方格圖中的小方格隨意涂色（見(jiàn)右圖），每個(gè)小方格涂一種顏色。是否存在兩列，它們的小方格中涂的顏色完全相同？

　　分析與解：用紅、藍(lán)兩種顏色給每列中兩個(gè)小方格隨意涂色，只有下面四種情形：

　　將上面的四種情形看成四個(gè)"抽屜"。根據(jù)抽屜原理，將五列放入四個(gè)抽屜，至少有一個(gè)抽屜中有不少于兩列，這兩列的小方格中涂的顏色完全相同。

　　在上面的幾個(gè)例子中，例1用一年的366天作為366個(gè)抽屜；例2與例3用整數(shù)被3除的余數(shù)的三種情形0，1，2作為3個(gè)抽屜；例4將一條線段的10等份作為10個(gè)抽屜；例5把每堆水果中，蘋果數(shù)與桔子數(shù)的奇偶搭配情形作為4個(gè)抽屜；例6將每列中兩個(gè)小方格涂色的4種情形作為4個(gè)抽屜。由此可見(jiàn)，利用抽屜原理解題的關(guān)鍵，在于恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造抽屜。

　　3.    在長(zhǎng)度是10厘米的線段上任意取11個(gè)點(diǎn)，是否至少有兩個(gè)點(diǎn)，它們之間的距離不大于1厘米？

　　分析與解：把長(zhǎng)度10厘米的線段10等分，那么每段線段的長(zhǎng)度是1厘米（見(jiàn)下圖）。

　　將每段線段看成是一個(gè)"抽屜"，一共有10個(gè)抽屜。現(xiàn)在將這11個(gè)點(diǎn)放到這10個(gè)抽屜中去。根據(jù)抽屜原理，至少有一個(gè)抽屜里有兩個(gè)或兩個(gè)以上的點(diǎn)（包括這些線段的端點(diǎn)）。由于這兩個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)抽屜里，它們之間的距離當(dāng)然不會(huì)大于1厘米。

　　所以，在長(zhǎng)度是10厘米的線段上任意取11個(gè)點(diǎn)，至少存在兩個(gè)點(diǎn)，它們之間的距離不大于1厘米。

　　三、拓展提升

　　1.    有5個(gè)小朋友，每人都從裝有許多黑白圍棋子的布袋中任意摸出3枚棋子.請(qǐng)你證明，這5個(gè)人中至少有兩個(gè)小朋友摸出的棋子的顏色的配組是一樣的。

　　分析與解答 首先要確定3枚棋子的顏色可以有多少種不同的情況，可以有：3黑，2黑1白，1黑2白，3白共4種配組情況，看作4個(gè)抽屜.把每人的3枚棋作為一組當(dāng)作一個(gè)蘋果，因此共有5個(gè)蘋果.把每人所拿3枚棋子按其顏色配組情況放入相應(yīng)的抽屜.由于有5個(gè)蘋果，比抽屜個(gè)數(shù)多，所以根據(jù)抽屜原理，至少有兩個(gè)蘋果在同一個(gè)抽屜里，也就是他們所拿棋子的顏色配組是一樣的。

　　2.    一副撲克牌（去掉兩張王牌），每人隨意摸兩張牌，至少有多少人才能保證他們當(dāng)中一定有兩人所摸兩張牌的花色情況是相同的？

　　3.

　　分析與解答 撲克牌中有方塊、梅花、黑桃、紅桃4種花色，2張牌的花色可以有：2張方塊，2張梅花，2張紅桃，2張黑桃，1張方塊1張梅花，1張方塊1張黑桃，1張方塊1張紅桃，1張梅花1張黑桃，1張梅花1張紅桃，1張黑桃1張紅桃共計(jì)10種情況.把這10種花色配組看作10個(gè)抽屜，只要蘋果的個(gè)數(shù)比抽屜的個(gè)數(shù)多1個(gè)就可以有題目所要的結(jié)果.所以至少有11個(gè)人。

　　4.    從2、4、6、…、30這15個(gè)偶數(shù)中，任取9個(gè)數(shù)，證明其中一定有兩個(gè)數(shù)之和是34。

　　分析與解答 我們用題目中的15個(gè)偶數(shù)制造8個(gè)抽屜：

　　凡是抽屜中有兩個(gè)數(shù)的，都具有一個(gè)共同的特點(diǎn)：這兩個(gè)數(shù)的和是34。

　　現(xiàn)從題目中的15個(gè)偶數(shù)中任取9個(gè)數(shù)，由抽屜原理（因?yàn)槌閷现挥?個(gè)），必有兩個(gè)數(shù)在同一個(gè)抽屜中.由制造的抽屜的特點(diǎn)，這兩個(gè)數(shù)的和是34。

　　（十二） 倒推法的妙用

　　師說(shuō)："這里有10張紙牌，依次寫著1-10，我閉上眼睛，你任意抽一張出來(lái)。""好，已抽好了。"乙回答道。"嗯，把你的那張紙牌上的數(shù)乘上6再加9，然后除以3再加上2。算好后告訴我得數(shù)是幾。（可任意找學(xué)生抽卡片）

　　乙又說(shuō)："得數(shù)是23。"

　　那她抽的那一張是幾呢？

　　這個(gè)數(shù)是9，我們?cè)趺粗�道？同學(xué)們，你們都知道其中的奧秘嗎？

　　讓這節(jié)課來(lái)告訴大家吧，

　　利用倒推法，倒推法是根據(jù)加法與減法、乘法與除法互相逆運(yùn)算的關(guān)系，從最后的得數(shù)出發(fā)。因?yàn)?3是加上2后得到的，就要減去2，得21；21除以3后得到的，就要乘上3，得63；63是加上9后得到的，就就要減去9得54；54是乘上6后得到的，就要除以6，得9。所以乙抽到的那一張一定是9。一些游戲，只要你知道其中的奧秘后，你就不會(huì)大驚小怪了。

　　一、例題與方法指導(dǎo)

　　例1. 喜迎奧運(yùn)，猜年齡:劉翔的年齡除以4再減去2,乘25正好是100.你知道劉翔今幾歲嗎 ？

　　思路導(dǎo)航：

　　① 100÷25+2×4 ② 100÷(25+2×4) ③ (100÷25+2)×4到底是哪個(gè)呢？

　　倒推法的方法：從結(jié)果出發(fā)，從后向前運(yùn)算，并且每個(gè)運(yùn)算變成它的逆運(yùn)算。正確答案③

　　例2. 籃子里有一些梨.小剛?cè)∽呖倲?shù)的一半多一個(gè).小明取走余下的一半多1個(gè).小軍取走了小明取走后剩下一半多一個(gè).這時(shí)籃子里還剩梨1個(gè).問(wèn)：籃子里原有梨多少個(gè)？

　　思路導(dǎo)航：

　　依題意，畫(huà)圖進(jìn)行分析.

　　解：列綜合算式：

　　｛［（1＋1）×2＋1］×2＋1｝×2

　　＝22（個(gè)）

　　答：籃子里原有梨22個(gè).

　　例3. 菜站原有冬貯大白菜若干千克.第一天賣出原有大白菜的一半.第二天運(yùn)進(jìn)200千克.第三天賣出現(xiàn)有白菜的一半又30千克，結(jié)果剩余白菜的3倍是1800千克.求原有冬貯大白菜多少千克？

　　思路導(dǎo)航：

　　解題時(shí)用倒推法進(jìn)行分析.根據(jù)題目的已知條件畫(huà)線段圖（見(jiàn)下圖），使數(shù)量關(guān)系清晰的展現(xiàn)出來(lái).

　　解：①剩余的白菜是多少千克？1800÷3＝600（千克）