1、不封閉型的（多為直線上），一般情況為兩端植樹，如下圖所示，其路長、間距、棵數(shù)的關(guān)系是：

　　但如果只在一端植樹，如右圖所示，這時路長、間距、棵數(shù)的關(guān)系就是：

　　如果兩端都不植樹，那么棵數(shù)比一端植樹還要再少一棵，其路長、間距、棵數(shù)的關(guān)系就是：

　　2、封閉型的情況（多為圓周形），如下圖所示，那么：

　　植樹問題的三要素：

　　總路線長、間距(棵距)長、棵數(shù)．

　　只要知道這三個要素中任意兩個要素，就可以求出第三個．

　　植樹問題的分類：

　　⑴直線型的植樹問題　⑵封閉型植樹問題　⑶特殊類型的植樹問題

　　一、例題與方法指導(dǎo)

　　例1 有一條公路長1000米，在公路的一側(cè)每隔5米栽一棵垂柳，可種植垂柳多少棵?

　　思路導(dǎo)航：

　　每隔5米栽一棵垂柳，即以兩棵垂柳之間的距離5米為一段。公路的全長1000米，分成5米一段，那么里包含有1000÷5=200段。由于公路的兩端都要求種樹，所以要種植的棵數(shù)比分成的段數(shù)多1，所以，可種植垂柳200+1=201棵。

　　例2 某一淡水湖的周長1350米，在湖邊每隔9米種柳樹一株，在兩株柳樹中間種植2株夾枝桃，可栽柳樹多少株?可栽夾枝桃多少株?兩株夾枝桃之間相距多少米?

　　思路導(dǎo)航：

　　在圓周上植樹時，由于可栽的株數(shù)等于分成的段數(shù)，所以，可栽柳樹=1350÷9=150株；由于兩株柳樹之間等距離地栽株夾枝桃，而間隔數(shù)（段數(shù)）為150，所以栽夾枝桃的株數(shù)=2×150=300株；每隔9米種柳樹一株，在兩株夾枝桃之間等距地栽2株夾枝桃，這就變成兩端都不植樹的情形，即2株等距離栽在9米的直線上，不含兩端，所以，每兩株之間的距離=9÷(2+1)=3(米)。

　　例3 一條街上，一旁每隔8米有一個廣告牌，從頭到尾有16個廣告牌，現(xiàn)在要進(jìn)行調(diào)整，變成每12米有一個廣告牌。那么除了兩端的廣告牌外，中間還有幾個牌不需要移動？

　　思路導(dǎo)航：

　　16個廣告牌，每相鄰的兩個廣告牌的間隔為8米，則共有16-1=15 個間隔，這條街的總長度為8×15＝120（米）；現(xiàn)在要調(diào)整為每12米一個廣告牌，那么不移動的牌離端點的距離一定既是8的倍數(shù)，同時也是12的倍數(shù)；8×3=12×2=24，也就是說，每24米及其倍數(shù)處的廣告牌可以不需要移動；120÷24＝5，即段數(shù)為5個，但要扣除兩端的2個，所以，中間不需要移動的有5-1=4個。

　　事實上，所謂植樹問題只是我們對這一種類型問題的總稱，并不單指植樹問題。例如，與之類似的還有爬樓（梯）問題、隊列問題、敲鐘問題、鋸木頭問題的等。所以，植樹問題又稱上樓梯問題。

　　二、鞏固訓(xùn)練

　　1 某人要到一座高層樓的第8層辦事，不巧停電，電梯停開。如果他從1層走到4層需要48秒，請問以同樣的速度走到八層，還需要多少秒？

　　思路導(dǎo)航：：

　　要求還需要多少秒才能到達(dá)，必須先求出上一層樓梯需要幾秒，并且知道從4樓走到8樓共需要走幾層樓梯。從1層走到4層，事實所爬的層數(shù)只是4-1=3層，所以上一層樓梯需要的時間是48÷（4-1）=16（秒）；又，從4樓走到8樓共需走8-4=4層樓梯，所以還需要的時間是16×4=64秒。

　　2 光華路小學(xué)三年級學(xué)生有125人參加運動會入場式，他們每5人一行，前后每行間隔為2米，主席臺長42米，他們以每分鐘45米的速度通過主席臺需要多少分鐘?

　　思路導(dǎo)航：：

　　125人參加運動會入場式，每5人一行，共排了125÷5=25行，那么這里25行就相當(dāng)于直線上的25棵樹，所以，這列隊的長度為兩端植樹的路的長度，全長是2×(25-1)=48米；這列隊伍通過主席臺，所走的總路程應(yīng)該是隊伍長度與主席臺長度之和，即：48+42=90米，所以，他們通過主席臺的時間是90÷45=2分鐘。

　　3 下圖是五個大小相同的鐵環(huán)連在一起的圖形，它的長度是多少？十個這樣的鐵環(huán)連在一起有多長？

　　思路導(dǎo)航：：

　　根據(jù)上圖所示，要求出它的總長度是多少，關(guān)鍵是求出重疊部分需要扣除的長度。每一個鐵環(huán)的厚度為6毫米，注意到重疊部分，后面連上的鐵環(huán)將有2個厚度是重疊的，也就是說實際每加一個鐵環(huán)所延伸的長度為4厘米-2×6毫米=40毫米-12毫米=28毫米； 根據(jù)我們前面所講的植樹問題，五個鐵環(huán)連在一起，"環(huán)扣"數(shù)為5-1＝4(個)，所以，五個大小相同的鐵環(huán)連在一起時，總長度為40+4×28＝152(毫米)。同理，十個鐵環(huán)連在一起的長度為40+ (10-1) ×28=292(毫米)。

　　4 一個木工把一根長24米的木條鋸成了3米長的小段，每鋸斷一次要用5分鐘，共需多少分鐘?

　　思路導(dǎo)航：：

　　要求需要的時間，我們就要弄清楚共需鋸幾次。24米長的木條里面包含有24÷3=8個3米，8段有8-1=7個間隔，即木工只需鋸7次，那么，每次5分鐘,一共需要用時5×7=35分鐘。

　　三、能力提升

　　1 一個街心花園如下圖所示，它由四個大小相等的等邊三角形組成。已知從每個小三角形的頂點開始，到下一個頂點均勻栽有9棵花。問大三角形邊上栽有多少棵花？整個花園中共栽多少棵花？

　　思路導(dǎo)航：：

　　由題意可知，大三角形的邊長是小三角形邊長的2倍，因為每個小三角形的邊上均勻栽9株， 而大三角形的每條邊由兩個小三角形的邊重疊一個頂點而成，所以，大三角形的每條邊上栽的棵數(shù)為：9×2-1=17棵；又大三角形三個頂點上栽的一棵花是相鄰的兩條邊公有的，所以，大三角形三條邊上共栽花：（17-1）×3=48棵；再看圖中間的陰影小三角形，每邊所栽花的棵數(shù)就是一個兩端不種樹的植樹問題，所以小三角形每條邊上栽花的棵數(shù)為9-2=7棵，中間共栽花：7×3=21棵，所以，整個花壇共栽花：48+21=69棵。

　　2 時鐘4點敲4下，用12秒敲完。那么6點鐘敲6下，幾秒鐘敲完？

　　思路導(dǎo)航：：

　　4點鐘敲4下，共12秒，而4下中間有3個間隔，說明每一個間隔的秒數(shù)為12÷（4－1）=4秒；12點敲12下，中間有11個間隔，所以一共需要4×（12－1）=44秒敲完。

　　3 鐵路旁每隔50米有一根電線桿，某旅客為了計算火車速度，測量出從經(jīng)過第1根電線桿起到經(jīng)過第37根電線桿止共用了2分。火車的速度是多少？

　　思路導(dǎo)航：：

　　從第1根電線桿起到第37根電線桿，共有37-1=36個間隔；每隔50米有一根電線桿，也就是說間隔為50米；那么，行使的總路程為：50×（37－1）=1800米；2分鐘=2×60秒=120秒，共行1800米，所以，火車速度為：1800÷120＝15米／秒。

　　（七） 有趣的數(shù)陣圖

　　把一些數(shù)字按照一定的要求，排成各種各樣的圖形，這類問題叫數(shù)陣圖.數(shù)陣是一種由幻方演變而來的數(shù)字圖.數(shù)陣圖的種類繁多，這里只向大家介紹三種數(shù)陣圖，即封閉型數(shù)陣圖、輻射型數(shù)陣圖和復(fù)合型數(shù)陣圖.為了讓同學(xué)們學(xué)會解數(shù)陣圖的分析思考方法，我們舉例說明.

　　一、例題與方法指導(dǎo)

　　例1.    在右圖的九個方格中填入不大于12且互不相同的九個自然數(shù)（其中已填好一個數(shù)），使得任一行、任一列及兩條對角線上的三個數(shù)之和都等于21。

　　思路導(dǎo)航：

　　由上一講例4知中間方格中的數(shù)為7。再設(shè)右下角的數(shù)為x，然后根據(jù)任一行、任一列及每條對角線上的三個數(shù)之和都等于21，如下圖所示填上各數(shù)（含x）。

　　因為九個數(shù)都不大于12，由16－x≤12知4≤x，由x+2≤12知x≤10，即4≤x≤10。考慮到5，7，9已填好，所以x只能取4，6，8或10。經(jīng)驗證，當(dāng)x＝6或8時，九個數(shù)中均有兩個數(shù)相同，不合題意；當(dāng)x＝4或10時可得兩個解（見下圖）。這兩個解實際上一樣，只是方向不同而已。

　　例2.    將九個數(shù)填入下圖的空格中，使得每行、每列、每條對角線上的三個數(shù)之和都相等，則一定有

　　證明：