我們發現，右邊一列數恰好是十進制數0到21的二進制數的格雷碼！這當然需要21步。如果把5位二進制數依次寫完，就是

　　10111-11101-22-10110

　　00111-11100-23-10111

　　00101-10100-24-11000

　　10101-10101-25-11001

　　11101-10111-26-11010

　　01101-10110-27-11011

　　01001-10010-28-11100

　　11001-10011-29-11101

　　10001-10001-30-11110

　　00001-10000-31-11111

　　這說明，對于只有5個環的五連環，從初始到狀態11111用的不是并不是最多，到狀態00001才是最多，用31步。類似，對于九連環，從初始到狀態111111111用的不是并不是最多，到狀態000000001才是最多，用511步。由于格雷碼111111111表示二進制數101010101，表示十進制數341，故從初始狀態到9個環全部上去用341步。這就是九連環中蘊涵的數學內涵。

　　注由二進制數轉換為格雷碼：從右到左檢查，如果某一數字左邊是0，該數字不變；如果是1，該數字改變(0變為1，1變為0)。例，二進制數11011的格雷碼是10110.

　　由格雷碼表示變為二進制數：從右到左檢查，如果某一數字的左邊數字和是偶數，該數字不變；如果是奇數，該數字改變。

　　例格雷碼11011表示為二進制數是10010.

　　以上可以用口訣幫助記憶：2G一改零不改，G2奇變偶不變。

　　例設九連環的初始狀態是110100110，要求終止狀態是001001111，簡單解法與完整解法各需要多少步？過程如何？

　　解初始狀態110100110，格雷碼是011001011，轉換為二進制數是010001101，相應十進制數是141.終止狀態是001001111，格雷碼是111100100，轉換為二進制數是101000111，相應十進制數是327.二者差326-141=186，完整解法需要186步。

　　簡單解法步數，我們由141，327分別求相應的簡單步數，

　　對于N=141，得到N0=103；對于N=327，N0=242.二者差139，故簡單步數139.這個結果很容易在下一頁九連環電腦游戲上驗證。