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小學(xué)數(shù)學(xué)故事:完美數(shù)

來源:網(wǎng)絡(luò)資源 文章作者:奧數(shù)網(wǎng)整理 2019-03-22 20:55:00

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小學(xué)數(shù)學(xué)故事:完美數(shù)

  已知自然數(shù)a和b,如果b能夠整除a,就說b是a的一個因數(shù),也稱為約數(shù)。顯然,任何自然數(shù)a,總有因數(shù)1和a。我們把小于a的因數(shù)叫做a的真因數(shù)。

  例如6,12,14這三個數(shù)的所有真因數(shù):

  6:1,2,3;1+2+3=6

  12:1,2,3,4,6;1+2+3+4+6=16>12

  14:1,2,7;1+2+7=10<14

  像12這樣小于它的真因數(shù)之和的叫做虧數(shù)(不足數(shù));大于真因數(shù)之和的(如14)叫做盈數(shù)或過剩數(shù);恰好相等的(如6)叫做完全數(shù),也稱為完美數(shù)。

  古希臘人非常重視完全數(shù)。大約在公元100年,尼哥馬修斯寫了第一本專門研究數(shù)論的書《算術(shù)入門》,其中寫道:“也許是這樣:正如美的、卓絕的東西是罕有的,是容易計數(shù)的,而丑的、壞的東西卻滋蔓不已;所以盈數(shù)和虧數(shù)非常之多,而且紊亂無章,它們的發(fā)現(xiàn)也毫無系統(tǒng)。但是完全數(shù)則易于計數(shù),而且又順理成章……,它們具有一致的特性;尾數(shù)都是6或8,而且永遠(yuǎn)是偶數(shù)。”

  現(xiàn)在數(shù)學(xué)家已發(fā)現(xiàn),完全數(shù)非常稀少,至今人們只發(fā)現(xiàn)29個,而且都是偶完全數(shù)。前5個分別是:6,28,496,8128,33550336。完全數(shù)有許多有趣的性質(zhì),例如:

  1.它們都能寫成連續(xù)自然數(shù)之和:

  6=1+2+3,

  28=1+2+3+4+5+6+7,

  496=1+2+3+4+……+31,

  8128=1+2+3+4+……+127;

  2.它們的全部因數(shù)的倒數(shù)之和都是2。

  1/1+1/2+1/3+1/6=2

  1/1+1/2+1/4+1/7+1/(14)+1/(28)=2

  1/1+1/2+1/4+1/8+1/(16)+1/(31)+1/(62)+1/(124)+1/(248)+1/(496)=2

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