數論問題：奇數、偶數試題答案

    1、至少有6個偶數。

　　2、奇數。解：1234÷2=617，所以在任取的1234個連續自然數中，奇數的個數是奇數，奇數個奇數之和是奇數，所以它們的總和是奇數。

　　3、33。提示：這串數排列的規律是以“奇奇偶”循環。

　　4、不能。

　　如果1010能表示成10個連續自然數之和，那么中間2個數的和應當是1010÷5=202。但中間2個數是連續自然數，它們的和應是奇數，不能等于偶數202。所以，1010不能寫成10個連續自然數之和。

　　5、不能。提示：仿例3。

　　6、證：設得7分的學生勝了x1局，敗了y1局，得 20分的學生勝了x2局，敗了y2局。由得分情況知：

　　x1-y1=7，x2-y2＝20。

　　如果比賽過程中無平局出現，那么由每人比賽的場次相同可得x1+y1=x2+y2，即x1+y1+x2+y2是偶數。另一方面，由x1- y1=7知x1+y2為奇數，由x2-y2=20知x2+y2為偶數，推知x1+y1+x2+y2為奇數。這便出現矛盾，所以比賽過程中至少有一次平局。

　　7、奇數。解：黑板上所有數的和S＝1+2+…＋909是一個奇數，每操作一次，總和S減少了a+b-（a-b）=2b，這是一個偶數，說明總和S的奇偶性不變。由于開始時S是奇數，因此終止時S仍是一個奇數。

　　8、偶數。

　　解：我們知道，對于整數a與b，a+b與a-b的奇偶性相同，由此可知，上述計算的第二步中，32個數。

　　a1-a2，a3-a4，…，a63-a64，

　　分別與下列32個數。

　　a1+a2，a3+a4，…，a63+a64，

　　有相同的奇偶性，這就是說，在只考慮奇偶性時，可以用“和”代替“差”，這樣可以把原來的計算過程改為

　　第一步：a1，a2，a3，a4，…，a61，a62，a63，a64；

　　第一步：a1+a2，a3+a4，…，a61+a62，a63+a64；

　　第三步：a1+a2+a3+a4，…，a61+a62+a63+a64；

　　……

　　最后一步所得到的數是a1+a2+…+a63+a64。由于a1，a2，…，a64是1，2，…，64的一個排列，因此它們的總和為1+2+…+64是一個偶數，故最后一個整數是偶數