18.余數及其應用

　　基本概念：對任意自然數a、b、q、r，如果使得a÷b=q……r，且0

　　余數的性質：

　　①余數小于除數。

　　②若a、b除以c的余數相同，則c|a-b或c|b-a。

　　③a與b的和除以c的余數等于a除以c的余數加上b除以c的余數的和除以c的余數。

　　④a與b的積除以c的余數等于a除以c的余數與b除以c的余數的積除以c的余數。

　　19.余數、同余與周期

　　一、同余的定義：

　　①若兩個整數a、b除以m的余數相同，則稱a、b對于模m同余。

　　②已知三個整數a、b、m，如果m|a-b，就稱a、b對于模m同余，記作a≡b(modm)，讀作a同余于b模m。

　　二、同余的性質：

　　①自身性：a≡a(modm);

　　②對稱性：若a≡b(modm)，則b≡a(modm);

　　③傳遞性：若a≡b(modm)，b≡c(modm)，則a≡c(modm);

　　④和差性：若a≡b(modm)，c≡d(modm)，則a+c≡b+d(modm)，a-c≡b-d(modm);

　　⑤相乘性：若a≡b(modm)，c≡d(modm)，則a×c≡b×d(modm);

　　⑥乘方性：若a≡b(modm)，則an≡bn(modm);

　　⑦同倍性：若a≡b(modm)，整數c，則a×c≡b×c(modm×c);

　　三、關于乘方的預備知識：

　　①若A=a×b，則MA=Ma×b=(Ma)b

　　②若B=c+d則MB=Mc+d=Mc×Md

　　四、被3、9、11除后的余數特征：

　　①一個自然數M，n表示M的各個數位上數字的和，則M≡n(mod9)或(mod3);

　　②一個自然數M，X表示M的各個奇數位上數字的和，Y表示M的各個偶數數位上數字的和，則M≡Y-X或M≡11-(X-Y)(mod11);

　　五、費爾馬小定理：如果p是質數(素數)，a是自然數，且a不能被p整除，則ap-1≡1(modp)。

　　20.分數與百分數的應用

　　基本概念與性質：

　　分數：把單位“1”平均分成幾份，表示這樣的一份或幾份的數。

　　分數的性質：分數的分子和分母同時乘以或除以相同的數(0除外)，分數的大小不變。

　　分數單位：把單位“1”平均分成幾份，表示這樣一份的數。

　　百分數：表示一個數是另一個數百分之幾的數。

　　常用方法：

　　①逆向思維方法：從題目提供條件的反方向(或結果)進行思考。

　　②對應思維方法：找出題目中具體的量與它所占的率的直接對應關系。

　　③轉化思維方法：把一類應用題轉化成另一類應用題進行解答。最常見的是轉換成比例和轉換成倍數關系;把不同的標準(在分數中一般指的是一倍量)下的分率轉化成同一條件下的分率。常見的處理方法是確定不同的標準為一倍量。

　　④假設思維方法：為了解題的方便，可以把題目中不相等的量假設成相等或者假設某種情況成立，計算出相應的結果，然后再進行調整，求出最后結果。

　　⑤量不變思維方法：在變化的各個量當中，總有一個量是不變的，不論其他量如何變化，而這個量是始終固定不變的。有以下三種情況：A、分量發生變化，總量不變。B、總量發生變化，但其中有的分量不變。C、總量和分量都發生變化，但分量之間的差量不變化。

　　⑥替換思維方法：用一種量代替另一種量，從而使數量關系單一化、量率關系明朗化。

　　⑦同倍率法：總量和分量之間按照同分率變化的規律進行處理。

　　⑧濃度配比法：一般應用于總量和分量都發生變化的狀況。

　　21.分數大小的比較

　　基本方法：

　　①通分分子法：使所有分數的分子相同，根據同分子分數大小和分母的關系比較。

　　②通分分母法：使所有分數的分母相同，根據同分母分數大小和分子的關系比較。

　　③基準數法：確定一個標準，使所有的分數都和它進行比較。

　　④分子和分母大小比較法：當分子和分母的差一定時，分子或分母越大的分數值越大。

　　⑤倍率比較法：當比較兩個分子或分母同時變化時分數的大小，除了運用以上方法外，可以用同倍率的變化關系比較分數的大小。(具體運用見同倍率變化規律)

　　⑥轉化比較方法：把所有分數轉化成小數(求出分數的值)后進行比較。

　　⑦倍數比較法：用一個數除以另一個數，結果得數和1進行比較。

　　⑧大小比較法：用一個分數減去另一個分數，得出的數和0比較。

　　⑨倒數比較法：利用倒數比較大小，然后確定原數的大小。

　　⑩基準數比較法：確定一個基準數，每一個數與基準數比較。