例14 搬運一個倉庫的貨物，甲需要10小時，乙需要12小時，丙需要15小時.有同樣的倉庫A和B，甲在A倉庫、乙在B倉庫同時開始搬運貨物，丙開始幫助甲搬運，中途又轉向幫助乙搬運.最后兩個倉庫貨物同時搬完.問丙幫助甲、乙各多少時間？

解：設搬運一個倉庫的貨物的工作量是1.現在相當于三人共同完成工作量2，所需時間是

　　答：丙幫助甲搬運3小時，幫助乙搬運5小時.

　　解本題的關鍵，是先算出三人共同搬運兩個倉庫的時間.本題計算當然也可以整數化，設搬運一個倉庫全部工作量為 60.甲每小時搬運 6，乙每小時搬運 5，丙每小時搬運4.

　　三人共同搬完，需要

　　60 × 2÷ （6+ 5+ 4）= 8（小時）.

　　甲需丙幫助搬運

　　（60- 6× 8）÷ 4= 3（小時）.

　　乙需丙幫助搬運

　　（60- 5× 8）÷4= 5（小時）.

三、水管問題

　　從數學的內容來看，水管問題與工程問題是一樣的.水池的注水或排水相當于一項工程，注水量或排水量就是工作量.單位時間里的注水量或排水量就是工作效率.至于又有注入又有排出的問題，不過是工作量有加有減罷了.因此，水管問題與工程問題的解題思路基本相同.

　　例15 甲、乙兩管同時打開，9分鐘能注滿水池.現在，先打開甲管，10分鐘后打開乙管，經過3分鐘就注滿了水池.已知甲管比乙管每分鐘多注入0.6立方米水，這個水池的容積是多少立方米？

　　甲每分鐘注入水量是

　　乙每分鐘注入水量是

　　因此水池容積是

　　答：水池容積是27立方米.

　　例16 有一些水管，它們每分鐘注水量都相等.現在

　　按預定時間注滿水池，如果開始時就打開10根水管，中途不增開水管，也能按預定時間注滿水池.問開始時打開了幾根水管？

　　答：開始時打開6根水管.

　　例17 蓄水池有甲、丙兩條進水管，和乙、丁兩條排水管.要灌滿一池水，單開甲管需3小時，單開丙管需要5小時.要排光一池水，單開乙管需要

　　、乙、……的順序輪流打開1小時，問多少時間后水開始溢出水池？

　　，否則開甲管的過程中水池里的水就會溢出.

　　以后（20小時），池中的水已有

　　此題與廣為流傳的“青蛙爬井”是相仿的：一只掉進了枯井的青蛙，它要往上爬30尺才能到達井口，每小時它總是爬3尺，又滑下2尺.問這只青蛙需要多少小時才能爬到井口？

　　看起來它每小時只往上爬3- 2= 1（尺），但爬了27小時后，它再爬1小時，往上爬了3尺已到達井口.

　　因此，答案是28小時，而不是30小時.

　　例18 一個蓄水池，每分鐘流入4立方米水.如果打開5個水龍頭，2小時半就把水池水放空，如果打開8個水龍頭，1小時半就把水池水放空.現在打開13個水龍頭，問要多少時間才能把水放空？

　　解：先計算1個水龍頭每分鐘放出水量.

　　2小時半比1小時半多60分鐘，多流入水

　　4 × 60= 240（立方米）.

　　時間都用分鐘作單位，1個水龍頭每分鐘放水量是

　　240 ÷ （ 5× 150- 8 × 90）= 8（立方米），

　　8個水龍頭1個半小時放出的水量是

　　8 × 8 × 90，

　　其中 90分鐘內流入水量是 4 × 90，因此原來水池中存有水 8 × 8 × 90-4 × 90= 5400（立方米）.

　　打開13個水龍頭每分鐘可以放出水8×13，除去每分鐘流入4，其余將放出原存的水，放空原存的5400，需要

　　5400 ÷（8 × 13- 4）=54（分鐘）.

　　答：打開13個龍頭，放空水池要54分鐘.

　　水池中的水，有兩部分，原存有水與新流入的水，就需要分開考慮，解本題的關鍵是先求出池中原存有的水.這在題目中卻是隱含著的.

　　例19 一個水池，地下水從四壁滲入池中，每小時滲入水量是固定的.打開A管，8小時可將滿池水排空，打開C管，12小時可將滿池水排空.如果打開A，B兩管，4小時可將水排空.問打開B，C兩管，要幾小時才能將滿池水排空？

　　解：設滿水池的水量為1.

　　A管每小時排出

　　A管4小時排出

　　因此，B，C兩管齊開，每小時排水量是

　　B，C兩管齊開，排光滿水池的水，所需時間是

　　答： B， C兩管齊開要 4 小時 48分才將滿池水排完.

　　本題也要分開考慮，水池原有水（滿池）和滲入水量.由于不知具體數量，像工程問題不知工作量的具體數量一樣.這里把兩種水量分別設成“1”.但這兩種量要避免混淆.事實上，也可以整數化，把原有水設為8與12的最小公倍數 24.

　　17世紀英國偉大的科學家牛頓寫過一本《普遍算術》一書，書中提出了一個“牛吃草”問題，這是一道饒有趣味的算術題.從本質上講，與例18和例19是類同的.題目涉及三種數量：原有草、新長出的草、牛吃掉的草.這與原有水量、滲入水量、水管排出的水量，是完全類同的.

　　例20 有三片牧場，場上草長得一樣密，而且長得一

　　草；21頭牛9星期吃完第二片牧場的草.問多少頭牛18星期才能吃完第三片牧場的草？

　　解：吃草總量=一頭牛每星期吃草量×牛頭數×星期數.根據這一計算公式，可以設定“一頭牛每星期吃草量”作為草的計量單位.

　　原有草+4星期新長的草=12×4.

　　原有草+9星期新長的草=7×9.

　　由此可得出，每星期新長的草是

　　（7×9-12×4）÷（9-4）=3.

　　那么原有草是

　　7×9-3×9=36（或者12×4-3×4）.

　　對第三片牧場來說，原有草和18星期新長出草的總量是

　　這些草能讓

　　90×7.2÷18=36（頭）

　　牛吃18個星期.

　　答：36頭牛18個星期能吃完第三片牧場的草.

　　例20與例19的解法稍有一點不一樣.例20把“新長的”具體地求出來，把“原有的”與“新長的”兩種量統一起來計算.事實上，如果例19再有一個條件，例如：“打開B管，10小時可以將滿池水排空.”也就可以求出“新長的”與“原有的”之間數量關系.但僅僅是例19所求，是不需要加這一條件.好好想一想，你能明白其中的道理嗎？

　　“牛吃草”這一類型問題可以以各種各樣的面目出現.限于篇幅，我們只再舉一個例子.

　　例21 畫展9點開門，但早有人排隊等候入場.從第一個觀眾來到時起，每分鐘來的觀眾人數一樣多.如果開3個入場口，9點9分就不再有人排隊，如果開5個入場口，9點5分就沒有人排隊.問第一個觀眾到達時間是8點幾分？

　　解：設一個入場口每分鐘能進入的觀眾為1個計算單位.

　　從9點至9點9分進入觀眾是3×9，

　　從9點至9點5分進入觀眾是5×5.

　　因為觀眾多來了9-5=4（分鐘），所以每分鐘來的觀眾是

　　（3×9-5×5）÷（9-5）=0.5.

　　9點前來的觀眾是

　　5×5-0.5×5=22.5.

　　這些觀眾來到需要

　　22.5÷0.5=45（分鐘）.

　　答：第一個觀眾到達時間是8點15分.

　　從例20和例21中，我們也注意到，設置計算單位的重要性.選擇適當的量作為計算單位，往往使問題變得簡單且易于表達.本書中多次提到設單位問題，請同學們注意學習.