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多邊形內角和的簡易算法

來源:學而思教育 文章作者:奧數網學員 陳孟涵 2007-03-29 14:43:20

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  引言

    本文所論述的觀點是我在寫作業過程中偶然發現的一個規律,老師在課堂中從未涉及,碰到類似的題目時一般來講也是就題論題,并沒有一個普遍應用的公式,希望通過這篇文章對大家能有一個小小的幫助,節省一些時間而已。

  數學課上老師講過:任意一個三角形其內角和為180°。這是經過前人論證的定理,不需要我們再次論證,但是數學是千變萬化的,大千世界也不僅僅只有三角形,我們更不能停留在這一簡單的定理上。那么多邊形的內角和如何計算?能不能總結出一個相關公式,做起題來簡單方便呢?我就曾經作過這樣一道思考題:計算下面各個圖形的內角和。

  解題方法

  我們知道三角形三個內角的度數和是180°,那么不規則的四邊形內角和是多少呢?我們常用的方法是通過做輔助線,可以看出四邊形可以分成兩個三角形,這樣任意一個四邊形的內角和不就是兩個三角形內角和了嗎?

  內角和就是180°×2=360°。

  五邊形可以做兩條輔助線,把五邊形分成三個三角形

  內角和就是180°×3=540°

  六邊形可以做三條輔助線,把六邊形分成四個三角形

  內角和就是180°×4=720°

  同樣的道理我們可以得出七邊形、八邊形……的內角和。

  如果是任意一個多邊圖形呢?比如78邊形56邊形。我們當然還可以用這種方法,但是做起來可是相當繁瑣,會浪費大量的時間。

  按照老師教給我的推理方法,我還要找出它們的普遍規律。根據下列算式我發現它們之間似乎存在著一定的聯系:

  三角形的內角和度數是180?×1=180?

  四邊形的內角和度數是180?×2=360?

  五邊形的內角和度數是180?×3=540?;

  六邊形內角和的度數是180?×4=720?;

  七邊形內角和的度數是180?×5=900?;

  八邊形內角和的度數是180?×6=1080?

  從上邊的幾組數字我們可以看出:五邊形可以分成三個三角形:六邊形可以分成四個三角形;一個七邊形可以分成5個三角形;一個八邊形可以分成6個三角形。其中的規律顯而易見,非常簡單了,多邊形的邊數減2即等于我們所需要的三角形的個數。

  再用三角形的個數×180°就可以求出多邊形內角和。

  所以    78邊形的內角和是(78-2)×180°=13680°

  56邊形的內角和是(56-2)×180°=9720°

  結論

  我們還需要對以上過程進一步整理:

  設多邊形的邊數為n,(而且n要大于等于3,只有這樣圖形才有意義)

  得到n邊形內角和的度數是

  180°×(n-2),(n≥3)。

  應用這一公式大大減少了制圖、計算等繁瑣易錯的步驟,只要知道多邊形的邊數,即可輕松計算出其內角和。

  另外希望大家還能發現這個公式在幾何中其它更大的作用。

指導教師:周脧  

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