11.17個科學家互相通信,在他們的通信中共討論3個問題,而任意兩個科學家之間僅討論1個問題.證明:至少有3個科學家,他們彼此通信討論的是同一個問題.

12.用一批1´2´4的長方體木塊,能不能把一個容積為6´6´6的正方體木箱充塞填滿?說明理由.

13.在平面上有一個27´27的方格棋盤,在棋盤的正中間擺好81枚棋子,它們被罷成一個9´9的正方形.按下面的規則進行游戲:每一枚棋子都可沿水平方向或豎直方向越過相鄰的棋子,放進緊挨著這枚棋子的空格中,并把越過的這格棋子取出來.問:是否存在一種走法,使棋盤上最后恰好剩下一枚棋子?

14.12´12的超極棋盤上,一匹超級馬每步跳至3´4矩形的另一角(如圖).問能否從任一點出發遍歷每一格恰一次,再回到出發點(這種情況又稱馬有“回路”)?

———————————————答 案——————————————————————

    1.  不能.對房間染色,使最下面的兩個房間染成黑色,與黑色相鄰的房染成白色,則圖中有7個黑色房間和5個白色房間.如果要想不重復地走過每一個房間,黑色與白色房間數應該相等.故題中的想法是不能實現的.

    2.  不能.對展室進行染色,使相鄰兩房間分別是黑色和白色的.此時入口處展室的顏色與出口處展室的顏色是相同的,而不重復參觀完36個展室,入口與出口展室的顏色應該不相同.

    3.  不能.對這16個城市進行黑白相間的染色,一種顏色有9個,另一種顏色有7個.而要不重復地走遍這16個城市,黑色與白色的個數應該相等.

    4.  如圖,對4´n長方形的各列分別染上黑色和白色.任一L形紙片所占的方格只有兩類:第一類占3黑1白,第二類占3白1黑.

設第一類有a個,第二類有b個,因為涂有兩種顏色的方格數相等,故有3b+a=3a+b,即a=b,也就是說第一類與第二類相等,因此各種顏色的方格數都是4的倍數,總數是8的倍數,從而n是偶然.

5.  將棋盤黑白相間染色,由“馬”的走法可知,放在黑點上的“馬”,只能吃放在某些白點上的馬.整個棋盤上黑、白點的個數均為45,故可在45個黑點放上馬,它們是不能互吃的.

6.  如圖的方式對棋盤染色.那么一個田字形蓋住1個或3個白格,而一個4´1的矩形蓋住2個白格.這樣一來一個田字和15個4´1的矩形能蓋住的白格數是一個奇數,但上圖中的白格數是一個偶數,因此一個田字形和15個4´1的矩形不能復蓋8´8的棋盤.

7.  將棋盤里黑白相間涂色.一個田字形蓋住2個白格,一個T字形蓋住3個或1個白格.故1個田字和15個T字蓋住的白格數是一個奇數,但棋盤上的白格數是一個偶數.因此一個田字形和15個T字形不能蓋住8´8的棋盤.