拓撲

　　菲爾茲獎

　　康奈爾大學，數學教授

　　“去領會”是我對學習高中教科書定下的目標，如今這仍然驅使著我。我喜歡做到領會：一旦我看到一些無法理解的（或大或小的）東西——或者簡單地說，一些不協調的東西，我會去反省和思考，用我心靈的眼睛去探求，直到某個時候，視覺奇跡般地發生了改變，從迷霧和困惑中出現了形狀、秩序和聯系。

　　數學不是關于數字、方程、計算或算法的，它是關于領會的。雖然我從小就喜歡數學，但我經常懷疑數學是否會成為我生活中的焦點，即便別人認為這是很明顯的。我非常討厭早年上學時的數學教育，而且我經常得低分。我現在將早期的許多數學課程看成是“反數學”的：老師積極地打擊獨立的思想。學生被要求遵循機械古板的學習模式，將答案填在設定的框框里，然后“報得數”。也就是說，老師拒絕學生動腦筋、發表見解，拒絕不同的方法。相對于大多數人，我更加注重本質：這能抵御外在的控制或指令。數學課上的那些訓練（無論我是否掌握了）是難以忍受地枯燥和痛苦，我過去認為我在完成課外作業時注意力不集中是一個缺點，但現在我意識到，我的“懶惰”是一個特點而不是瑕疵。如果人人都像我一樣，人類社會將無法正常運轉，而且人與人之間存在差異將使得社會更加多姿多彩。

　　1964年我去了佛羅里達州薩拉索塔的一所新建的小學院，他們的教育理念不同于我之前接觸到的其他學校。這段經歷讓我形成了自己的理念。這里強調學生的主人翁意識，學生和教員組成的學者群體前景光明，有一個強大的自主學習體系：最初的時間安排保證每年有三個月的獨立研究時間，我很看重這一點。我非常好奇而且雄心勃勃地刻苦鉆研那些難以理解的事物。我的第一個獨立的研究項目是“語言”，第二個是“思維”。無論是否是因為這些事物在我所說的天真的雄心勃勃的范圍之內，我從這些項目中收獲很多，而且我所學到的也對我后來的工作產生了潛移默化的影響。

　　數學對于我來說一直是一種奇妙的體驗，我遇到了一群相處很愉快的人。我敬畏于令人驚訝的復雜和壯美的大廈，它們可以從純粹的思想出發、由簡單規則建立起來。我回味著不斷發生在我們視野中對數學問題理解的變化。

　　我最主要的工作是三維幾何與拓撲。想象一下，你在一個大的立方體房間里，現在假設前后的墻等同：換句話說，當你直著看的時候，你的視線是不間斷的，從前面的墻直接能看到后面的墻，你能看到你自己的后腦勺。你的視線繼續向前或向后變動，你就能看到房間內的每一處。現在假設左右兩邊的墻等同，而且地板與天花板等同。你的視線掃過每個方向，你就會看到你自己和其它的影像，都是房間里排列著的三維的重復圖案，就像晶體結構一樣。這種結構孕育出一種可能的三維世界（或宇宙），叫做三維環面。對一個三維世界而言，還有許多其它可能的拓撲結構。大量的不同的例子可以從多面體而不單單是立方體通過將對應的面等同起來進行構造。

　　當我開始我的數學生涯時，我認為這些三維的世界都是難以描述其形狀的，但是漸漸地，我認識到三維世界通常都是由漂亮的幾何體組成，這里所說的幾何體往往不是在通常的歐幾里得空間(Euclidean space)，而是在八種類型的三維空間中：大部分事實上是在雙曲空間中。我有一個猜想，就是眾所周知的“幾何化猜想”，對上面的問題做了詳細的論述，并證明了它的許多特殊情形。這一猜想（蘊含著名的龐加萊猜想(Poincaré conjecture)）最近被佩雷爾曼(Grigori Perelman)證明。