數(shù)學(xué)家的故事：歐幾里得的《幾何原本》

　　完全數(shù)

　　此外，歐幾里得在《幾何原本》中還對完全數(shù)做了探究，他通過 2^(n-1)·(2^n-1) 的表達(dá)式發(fā)現(xiàn)頭四個完全數(shù)的。

　　當(dāng) n= 2: 2^1(2^2-1) = 6 當(dāng) n= 3: 2^2(2^3-1) = 28 當(dāng) n= 5: 2^4(2^5-1) = 496 當(dāng) n= 7: 2^6(2^7-1) = 8128 一個偶數(shù)是完全數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)它具有如下形式:2^(n-1).(2^n-1)，此事實(shí)的充分性由歐幾里得證明，而必要性則由歐拉所證明。

　　其中2^(n)-1是素?cái)?shù)，上面的6和28對應(yīng)著n=2和3的情況。我們只要找到了一個形如2^(n)-1 的素?cái)?shù)(即梅森素?cái)?shù))，也就知道了一個偶完全數(shù)。在手算時代梅森素?cái)?shù)可使人們更方便的計(jì)算完全數(shù)，在計(jì)算機(jī)時代更是得到了廣泛深入的應(yīng)用，計(jì)算機(jī)的CPU可以更方便的計(jì)算各種數(shù)。

　　盡管沒有發(fā)現(xiàn)奇完全數(shù)，但是當(dāng)代數(shù)學(xué)家奧斯丁·歐爾證明，若有奇完全數(shù)，則其形式必然是12p+ 1或36p+ 9的形式，其中p是素?cái)?shù)。在10^300以下的自然數(shù)中奇完全數(shù)是不存在的。

　　首五個完全數(shù)是:

　　6

　　28

　　496

　　8128

　　33550336(8位)