部分也能等于整體嗎

　　在一個大盒子里，裝著黑白兩種顏色的許多圍棋棋子，怎么才能知道哪種顏色的棋子多一些呢? 一種辦法是分別數出它們的個數，進行比較；另一種辦法是，每次同時取出一黑一白兩種棋子，一直取下去，如果最后只剩下某種顏色的棋子，就說明這種顏色的棋子多，如果剛好取完，就說明兩種顏色的一樣多。

　　但是，假如那個大盒子里裝著無窮多個棋子，那就沒有辦法把兩種顏色的棋子分別數出個數來、再比較多少了，因為，至少有一種顏色的棋子是無窮多的。但是后一種辦法卻仍然可以使用：如果取了若干次之后，盒子里只剩下某一種顏色的棋子，就可知道這種顏色的棋子多，而且是多得多了。如果拿出一個黑的，總能再拿出一個白的；拿出一個白的，也總能再拿出一個黑的，就說明它們是同樣多的。

　　整體大于部分，這是一條古老而又令人感到無可置疑的真理。把一個蘋果切成三塊，原來的整個蘋果當然大于切開后的任何一塊。但這僅僅是對數量有限的物品而言的。17世紀的大科學家伽利略發現，當涉及到無窮多個物品時，情況可就大不一樣了。

　　比如有人問你：整數和偶數哪一種數多呢？也許你會認為：當然是整數比偶數多，而且是多一倍。如果從1 數到100，那么就有100個整數，而其中只有50個偶數。那要是無窮多個整數和偶數呢？我們可以用“一一對應”的方法來比較一下：

　　……－3，－2，－1，0，1，2，3，4，5，6……

　　……－6，－4，－2，0，2，4，6，8，10，12……

　　對于每一個整數，我們可以找到一個偶數和它對應，反過來對于每一個偶數我們又一定可以找到一個整數和它對應，這就是整數和偶數是一一對應的，也就是說整數和偶數是一樣多的。

　　為什么會得出這樣的結論呢？這是因為我們現在討論的整數和偶數是無限多的，在無限的情況下，整體可能等于部分。

　　在這一思想的啟發下，19世紀后期德國數學家康托爾創立了集合論。它揭示出：部分可以和整體之間建立一一對應關系，這正是含有無窮多個元素的集合的本質屬性之一。它也告訴人們：不要隨便地把在有限的情形下得到的定理應用到無限的情形中去。