l814年，李銳已患重病，此時(shí)他開(kāi)始向弟子黎應(yīng)南講授開(kāi)方與解方程的理論，斷斷續(xù)續(xù)地講了三年，其講稿就是后來(lái)的《開(kāi)方說(shuō)》。l8l7年夏，李銳病情惡化，臨終前囑托黎應(yīng)南務(wù)必將尚未定稿的《開(kāi)方說(shuō)》下卷寫(xiě)好。1817年8月12日，正值創(chuàng)造盛年的李銳咯血身亡。時(shí)年僅48歲。

　　李銳去世后，黎應(yīng)南“謹(jǐn)遵先生遺命，依法推衍”。于1819年將《方程論》全部完成。

　　李銳的科學(xué)著作，主要的都被收集在《李氏遺書(shū)》之中。該書(shū)初刊于嘉慶年間，共11種18卷，其子目為：《召浩曰名考》、《三統(tǒng)術(shù)注》、《四分術(shù)注》、《乾象術(shù)注》、《奉元術(shù)注》、《占天術(shù)注》、《日法朔余強(qiáng)弱考》、《方程新術(shù)革》、《勾股算術(shù)細(xì)草》、《弧矢算術(shù)細(xì)草》、《開(kāi)方說(shuō)》。此外，他還著有《測(cè)圓海鏡細(xì)草》、《緝古算經(jīng)細(xì)草》、《補(bǔ)宋金六家術(shù)》；《回回歷元考》等書(shū)。

　　李銳在其學(xué)術(shù)活動(dòng)中集繼承與創(chuàng)造于—身。他對(duì)數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)，主要有以下四個(gè)方面：

　　(一)編纂《疇人傳》

　　《疇人傳》是一部以歷法沿革為主線，以人物為核心的大型天文、數(shù)學(xué)家傳記，共收錄自遠(yuǎn)古至清初的中外歷算家3l6人。每一人物均由“傳”、“論”兩部分組成：“傳”主要是原始文獻(xiàn)的薈萃、“論”是編者對(duì)傳主的簡(jiǎn)短評(píng)語(yǔ)。沒(méi)有對(duì)中國(guó)古代天文、數(shù)學(xué)的全面了解和博覽群書(shū)的條件，是很難勝任這一任務(wù)的。李銳正是這部書(shū)的總體設(shè)計(jì)者和主要執(zhí)筆人。

　　作為該書(shū)名義上主編的阮元，提到其編輯過(guò)程時(shí)自云“供職內(nèi)外，公事頻繁”，而“元和學(xué)生李銳暨臺(tái)州學(xué)生周治平力居多”。類似的話在他為羅士林《續(xù)疇人傳》寫(xiě)的序言和應(yīng)李銳子可玖寫(xiě)的傳記中都一再重復(fù)。阮元以地方長(zhǎng)官的身份辦學(xué)刻書(shū)，先后冠其名出版的《經(jīng)籍纂詁》，《十三經(jīng)注疏》、《皇清經(jīng)解》等大部頭經(jīng)學(xué)著作無(wú)不出自其幕賓之手，此情自可推論到《疇人傳》上。阮自稱“本昧于天算”，又認(rèn)定李銳“深于天算術(shù)。江以南第一人也”，因而將《疇人傳》的具體工作交李銳來(lái)于是十分可能的。

　　從該書(shū)的具體內(nèi)容來(lái)看，“張壽王”、“劉洪”、“馬顯”、“昭素”、“周蹤”、“劉孝榮”、“衛(wèi)樸”、“姚舜輔”、“蔣友仁“王孝通”、“李德卿”、“譚玉”、“楊級(jí)”、“耶律履”、“貝琳”傳都與李銳有關(guān)著作中的文字完全相同；“虞劉”、“王處鈉”論中亦可見(jiàn)到“李尚之銳曰”等字樣，因而早就有人說(shuō)：“(人傳)正傳成于阮氏，實(shí)乃元和李氏之筆”。

　　(二)整理古算書(shū)

　　乾隆年間編纂《四庫(kù)全書(shū)》，一大批久經(jīng)埋沒(méi)的珍貴古代學(xué)經(jīng)典得以重見(jiàn)天日，戴震、阮元、張敦仁等人都曾致力于羅各種“算經(jīng)十書(shū)”和宋元數(shù)學(xué)名著。然而這些古書(shū)歷經(jīng)輾傳抄或翻刻，訛文奪字迭出，所用術(shù)語(yǔ)又往往與當(dāng)時(shí)的不同，而校勘和注釋的任務(wù)是相當(dāng)艱巨的。

　　《九章算術(shù)》是中國(guó)古代數(shù)學(xué)的代表作，現(xiàn)在公認(rèn)早期最的校注工作是1820年出版的李潢之《九章算術(shù)細(xì)草圖說(shuō)》。而早在此之前，李銳就已先后完成《勾股算術(shù)細(xì)草》和《方新術(shù)草》二書(shū)，書(shū)成后都曾送李潢過(guò)目，有李潢的信為證：

　　“讀大著《方程新術(shù)草》一卷，正負(fù)相當(dāng)各率，一？自然，正從前傳刻之誤，闡古人未發(fā)之覆，愉快彌日。《股(算術(shù))細(xì)草》，前歲(1807)古愚太守(即張敦仁)見(jiàn)。

　　惠一本，條段各圖，細(xì)入毫芒，真精思大力之作也。”對(duì)照李潢和李銳關(guān)于勾股定理及其應(yīng)用的·說(shuō)明，不難發(fā)現(xiàn)二者所用“條段各圖”幾乎雷同，尤其·是李潢書(shū)中關(guān)于劉微用“出入相補(bǔ)”法證明勾股定理的一段說(shuō)明顯然是完全照搬李銳的。李潢書(shū)中關(guān)于．“方程新術(shù)”的解釋，基本上也是因襲李銳的著作。

　　李銳也曾撰寫(xiě)《海島算經(jīng)細(xì)草》和《緝古算術(shù)衍》、二書(shū)均已失傳。但張敦仁有《緝古算術(shù)細(xì)草》傳世，李銳曾為之算校并作跋，有人“疑此細(xì)草即以《緝古算術(shù)衍》為蘭本，而擴(kuò)其意耳。”李銳又協(xié)助張敦仁完成《求一算術(shù)》和《開(kāi)方補(bǔ)記》二書(shū)。

　　李銳還曾整理過(guò)《孫子算經(jīng)》、《測(cè)圓海鏡》、《益古演段》、《數(shù)書(shū)九章》、《四元玉鑒》、《楊輝算法》等。

　　(三)疏解調(diào)日法和求一術(shù)

　　調(diào)日法是中國(guó)古代天文學(xué)家用分?jǐn)?shù)來(lái)近似表達(dá)天文基本數(shù)據(jù)的一種數(shù)理方法，但是“元明以來(lái)疇人子弟，罔識(shí)古義，競(jìng)天知其說(shuō)者。”李銳在讀《宋書(shū)·律歷志》的時(shí)候，注意到其中周瓊轉(zhuǎn)述“宋世何承天更以四十九分之二十六為強(qiáng)率，十七分之九為弱率，于強(qiáng)弱之際以求日法”的意義，他解釋道：何氏以26/49和19/17為上、下限，將朔望月的奇零部分表示為(26×15＋9×1)/(49×15＋17×1)＝399/752，即選取強(qiáng)、弱二率適當(dāng)?shù)募訖?quán)平均來(lái)近似表達(dá)觀測(cè)值，這就是調(diào)日法的本質(zhì)。上述分?jǐn)?shù)中分子叫作朔余，分母叫作日法。

　　以此為契機(jī)，李銳對(duì)51家古代歷法進(jìn)行了考察．試圖將每一歷法所給出的日法和朔余二值表示成上述帶權(quán)加成的形式，并以此推測(cè)它們是否應(yīng)用調(diào)日法而來(lái)。這一工作使調(diào)日法這—古代分?jǐn)?shù)近似法重新受到重視，被人稱為“尤為抉盡間奧，皆必傳之作，不但與秦氏書(shū)為羽翼也。”

　　但是從現(xiàn)代數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)來(lái)看，位于兩個(gè)既約分?jǐn)?shù)之間的任何分?jǐn)?shù)都可以表示為它們二者的帶權(quán)加成形式，因此僅以此來(lái)判定古代歷法的數(shù)據(jù)系由調(diào)日法而來(lái)是欠嚴(yán)謹(jǐn)?shù)摹�況且由于精度所限和運(yùn)算之繁復(fù)，古代制歷者也不大可能全用這種累乘累加的方法來(lái)確定其日法和朔余。李銳大約感到了后一困難．他又創(chuàng)造了一種“有日法求強(qiáng)弱(數(shù))”的方法，其目的仍然是將朔余與日法的比值表示為26/49和9/17的帶權(quán)加成。若以A表示日法，x和y分別表示強(qiáng)、弱二數(shù)，李銳提出的問(wèn)題相當(dāng)與求解二元一次不定方程：47x＋17y＝A，其術(shù)文提供了一種依賴于求一術(shù)的簡(jiǎn)捷算法，從而在中國(guó)數(shù)學(xué)史上第一次溝通了二元一次不定方程與同余式組這兩類問(wèn)題之間的聯(lián)系。

　　(四)研究代數(shù)方程論

　　李銳對(duì)代數(shù)方程論的興趣發(fā)軔于對(duì)秦九韶、李冶等末元數(shù)學(xué)家著作的整理與研習(xí)，但其直接導(dǎo)因卻是汪萊在《衡齋算學(xué)》第五冊(cè)中對(duì)各類方程是否僅有一個(gè)正根的討論。在為汪萊所作的跋文中，他將汪萊所得到的96條“知不知”歸納為三條判定準(zhǔn)則，其中第一條相當(dāng)于說(shuō)系數(shù)序列有一次變號(hào)的方程只有一個(gè)正根，第三條相當(dāng)于說(shuō)系數(shù)序列有偶數(shù)次變號(hào)的方程不會(huì)只有一個(gè)正根；它們與l6世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家卡當(dāng)(G·CarJano)提出的兩個(gè)命題十分相似。

　　在《開(kāi)方說(shuō)》中，李銳則給出了更一般的陳述：“凡上負(fù)、下正，可開(kāi)一數(shù)”，“上負(fù)、中正、下負(fù)，可開(kāi)二數(shù)”，“上負(fù)、次正、次負(fù)、下正，可開(kāi)三數(shù)或一數(shù)”，“上負(fù)、次正、次負(fù)、次正、下負(fù)，可開(kāi)四數(shù)或二數(shù)”；推而廣之，他的意思相當(dāng)于說(shuō)：(實(shí)系數(shù))數(shù)字方程所具有的正根個(gè)數(shù)等于其系數(shù)符號(hào)序列的變化數(shù)或者比此變化數(shù)少2(精確的陳述應(yīng)為“少一個(gè)偶數(shù)”)。這一認(rèn)識(shí)與法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡兒(R．Descartes)于l637年提出的判別方程正根個(gè)數(shù)的符號(hào)法則是不分伯仲的。

　　除了關(guān)于方程正根個(gè)數(shù)的判定法則之外，《開(kāi)方說(shuō)》中還有許多其他的重要成果。例如李銳首先引進(jìn)了負(fù)根和重根的概念；他又將方程的非正數(shù)解稱為“無(wú)數(shù)”，并聲稱“凡無(wú)數(shù)必兩，無(wú)一無(wú)數(shù)者”，這里隱約含著虛根共扼出現(xiàn)的思想。李銳又在整數(shù)范圍內(nèi)討論了二次方程和雙二次方程無(wú)實(shí)根的判別條件，創(chuàng)造了先求出一根首位再由變形方程續(xù)求其余位數(shù)字和其余根的“代開(kāi)法”，還對(duì)末元算書(shū)中所包含的各種方程變形法，如倍根變形、縮根變形、減根變形、負(fù)根變形，逐一進(jìn)行了解釋并加以完善。

　　所有這些內(nèi)容，標(biāo)志著李銳在方程論領(lǐng)域的工作突破了中國(guó)古典代數(shù)學(xué)的窠臼，成為清代數(shù)學(xué)史上一個(gè)引人注目的理論成果。