例9 求下式中S的整數(shù)部分：
解：根據(jù)“一個(gè)分?jǐn)?shù)，當(dāng)分子不變而分母變大時(shí)，分?jǐn)?shù)值變小；當(dāng)分子不變，分母變小時(shí)，分?jǐn)?shù)值變大”對(duì)S的分母進(jìn)行放縮。
不但非常麻煩，而且容易出錯(cuò)。為了求得一個(gè)數(shù)大概是多少，我們采用放縮法，以確定它的范圍，也就是估值。放縮是解答估值問(wèn)題的一種常用方法。在用這種方法時(shí)，一定要注意放縮要適當(dāng)，要合情合理。
一個(gè)類似的問(wèn)題是
答案是19。
例10 學(xué)校組織若干人參加夏令營(yíng)。先乘車，每個(gè)人都要有座位，這樣需要每輛有60個(gè)座位的汽車至少4輛。而后乘船，需要定員為70人的船至少3條。到達(dá)營(yíng)地后分組活動(dòng)，分的組數(shù)跟每組的人數(shù)恰好相等。這個(gè)學(xué)校參加夏令營(yíng)的人有多少？
解：由“每輛有60個(gè)座位的汽車至少4輛”可知，參加夏令營(yíng)的人數(shù)在（60×3＋1=）181～（60×4=） 240人之間。
由“需要定員為70人的船至少3條”可知，參加夏令營(yíng)人數(shù)在（70×2＋1=）141～（70×3=）210人之間。
這樣，參加夏令營(yíng)的人數(shù)在181～210人之間。又由“分的組數(shù)和每組人數(shù)恰好相等”可知，參加夏令營(yíng)的人數(shù)一定是一個(gè)平方數(shù)。而181～210之間只有196是平方數(shù)，所以參加夏令營(yíng)的人數(shù)是196。
說(shuō)明：解答此題的關(guān)鍵是估計(jì)人數(shù)的范圍：
從乘車來(lái)看，1≤第四輛車人數(shù)≤60，
從乘船來(lái)看，1≤第三條船人數(shù)≤70，
所以，181≤夏令營(yíng)的人數(shù)≤210。
例11 將自然數(shù)按如下順序排列：
1 2 6 7 15 16 …
3 5 8 14 17 …
4 9 13 …
10 12 …
11 …
在這樣的排列下，數(shù)字3排在第2行第1列，數(shù)字13排在第3行第3列。
問(wèn)：數(shù)字168排在第幾行第幾列？
分析：我們來(lái)分析一下給出數(shù)陣中每一斜行的規(guī)律。這里第2斜行的數(shù)字是3，2；第3斜行的數(shù)字是4，5，6；余此類推。仔細(xì)觀察后我們發(fā)現(xiàn)：
奇數(shù)斜行中的數(shù)字由下向上遞增，
偶數(shù)斜行中的數(shù)字由上向下遞增，
我們只要找出168位于第幾斜行，再換算成原數(shù)陣中的第幾行第幾列，問(wèn)題便解決了。
18斜行最大的數(shù)字是171，所以168位于第18斜行。第18斜行中的數(shù)字是由上向下遞增，因此，168位于第18斜行由上向下數(shù)第（168-153=）15位，換算成原數(shù)陣的行和列，便是第15行，第（18-15＋1=）4列。
解法2：為方便起見(jiàn)，可將數(shù)陣按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45°，則原數(shù)陣變?yōu)?/p>
1
3 2
4 5 6
10 9 8 7
11 12 13 14 15
… … … … … … … … … …
設(shè)168位于上述數(shù)陣的第n行，則
1＋2＋…＋（n―1）＜168≤1＋2＋…＋n，
可見(jiàn)，n應(yīng)為18，即168位于上述數(shù)陣中的第18行。
又 168-153=15，18-15＋1=4，由數(shù)陣排列次序可知168位于上述數(shù)陣的第18行從左數(shù)第4個(gè)數(shù)，從右數(shù)第15個(gè)數(shù)。將上述數(shù)陣還原為題中數(shù)陣，168在第15行第4列的位置上。
例12 唐老鴨與米老鼠進(jìn)行萬(wàn)米賽跑，米老鼠每分鐘跑125米，唐老鴨每分鐘跑100米。唐老鴨手中掌握著一種迫使米老鼠倒退的電子遙控器，通過(guò)這種遙控器發(fā)出第n次指令，米老鼠就以原來(lái)速度的n×10％倒退一分鐘，然后再按原來(lái)的速度繼續(xù)前進(jìn)。如果唐老鴨想在比賽中獲勝，那么它通過(guò)遙控器發(fā)出指令的次數(shù)至少是多少次？
解：唐老鴨跑完1萬(wàn)米需要100分鐘。設(shè)唐老鴨在100分鐘內(nèi)共發(fā)出n次迫使米老鼠倒退的指令，則在100分鐘內(nèi)米老鼠有n分鐘的時(shí)間在倒退，有（100-n）分鐘的時(shí)間在前進(jìn)，依題意有
125×（100-n）-125×（0.1＋0.1×2＋0.1×3＋…＋0.1×n）＜10000，整理得 n（n＋21）＞400。
當(dāng) n=12時(shí)， n＋21=33，12×33=396＜400。
當(dāng) n=13時(shí)，n＋21=34，12×34=442＞400。
所以n至少等于13，即遙控器發(fā)出指令的次數(shù)至少是13次。
