1.一個長方形的周長是22米，如果它的長和寬都是整米數，問：

　　①這個長方形的面積有多少可能值?

　　②面積最大的長方形的長和寬是多少?

　　2.有四種不同面值的硬幣各一枚，它們的形狀也不相同，用它們共能組成多少種不同錢數?

　　3.三個自然數的乘積是24，問由這樣的三個數所組成的數組有多少個?如(1，2，12)就是其中的一個，而且要注意數組中數字相同但順序不同的算作同一數組，如(1，2，12)和(2，12，1)是同一數組.

　　4.小虎給3個小朋友寫信，由于粗心，把信裝入信封時都給裝錯了，結果3個小朋友收到的都不是給自己的信，請問小虎錯裝的情況共有多少種可能?

　　5.一個學生假期往A、B、C三個城市游覽.他今天在這個城市，明天就到另一個城市.假如他第一天在A市，第五天又回到A市.問他的游覽路線共有幾種不同的方案?

　　6.下圖中有6個點，9條線段，一只甲蟲從A點出發，要沿著某幾條線段爬到F點.行進中甲蟲只能向右、向下或向右下方運動.問這只甲蟲有多少種不同的走法?

　　7.小明有一套黃色數字卡片、、，有一套藍色數字卡片、、.一天他偶然用卡片做了下面的游戲：把不同色的卡片交叉配對，一次配成3對，然后把每對卡片上的黃藍數字相乘之后再相加求和，你知道他共找到了多少種配對相乘求和的方式嗎?比如說下面是其中一種：

　　黃 藍 黃 藍 黃 藍

　　8.五個學生友1，友2，友3，友4，友5一同去游玩，他們將各自的書包放在了一處.分手時友1帶頭開了個玩笑，他把友2小朋友的書包拿走了，后來其他的小朋友也都拿了別人的書包.試問在這次玩笑中故意錯拿書包的情形有多少種不同方式?

　　習題解答

　　1.解：這個長方形的長和寬之和是22÷2=11(米)，由長方形的面積=長×寬，可知：

　　由上表可見面積最大的長方形的長是6米、寬是5米，面積是30平方米.

　　猜想：由本講的例1和習題1這兩題來看，周長一定的所有長方形中，長和寬相等或相近那個長方形面積最大.這是有名的“等周問題”的特例.

　　2.解：把各種不同的組合及其對應的錢數列表枚舉如下：

　　數一數可知，能組成15種不同的錢數.注意它們是從1到15的15個自然數：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15.

　　3.解：不計數組中數的順序，所有乘積為24的三個數所組成的數組共有6組，枚舉如下：

　　(1，1，24)，(1，2，12)，(1，3，8)，

　　(1，4，6)，(2，2，6)，(2，3，4).

　　4.解：把三封信編號為1號、2號、3號;

　　把三個小朋友編號為友1、友2、友3;1號、2號、3號信應該分別發給友1、友2、友3。

　　按題意，友1沒有收到給自己的1號信，他只可能收到2號或3號信.

　　當友1收到2號信時，友2只可能收到3號信，則友3收到1號信;

　　當友1收到3號信時，友2只可能收到1號信，則友3收到2號信.

　　可見共有2種可能的錯裝情況，列表更為清楚，

　　5.解：請看下面的樹形圖.

　　可見他第五天回到A市的不同游覽路線共有6種，分別是：

　　①A→B→A→B→A ④A→C→A→B→A

　　②A→B→A→C→A ⑤A→C→A→C→A

　　③A→B→C→B→A ⑥A→C→B→C→A.

　　6.解：經過E點的有3條路線，不經過E點的有2條路線，共有5條不同的路線，見下圖.

　　7.解：可以按下面的方法找出所有不同的配對相乘求和方式：

　　可見共有6種不同的配對相乘求和方式，其中第①種情況(可叫做同序配對)各乘積之和最大，第⑥種情況(可叫做逆序配對)各乘積之和最小.

　　如果你感興趣，可以進一步問，這個結果有普遍性嗎?我們再進一步探討一下：

　　結果和上述相同.

　　2.假如黃藍卡片各有4張，不同的配對方式有很多.

　　(4×3×2×1=24種，這點同學們以后就會明白!)

　　我們找幾種情況試一試：

　　①同序配對：

　　②逆序配對

　　③交叉配對

　　交叉配對

　　交叉配對

　　可見：同序配對，各乘積之和最大：30

　　逆序配對，各乘積之和最小：20

　　交叉配對，各乘積之和居中：大于20小于30.

　　猜想：兩個項數相同的數列配對相乘積之和，同序配對時最大，逆序配對時最小，交叉配對時在最小值和最大值之間.

　　8.解：設友1、友2、友3、友4、友5的書包分別是1號、2號、3號、4號、5號.因為友1拿了2號書包，那么友2就有拿1號、3號、4號和5號書包的四種可能.如果友2拿了1號書包，友3拿了4號書包，友4拿了5號書包，友5拿了3號書包，這就是一種錯拿方式.其他方式看如下的樹形圖.

　　數一數，共有11種不同的錯拿方式.