1、解答：第一步：求出，要使每只籠子里雞的只數都不相同，5個籠子里至少有多少只雞？1+2+3+4+5=15（只）。

　　第二步：先按第一步的算式放好15只雞，再把剩下的5（20-15=5）只雞，按要求（每只籠子里雞的只數都不相同）添到5只籠子里，共有七種不同答案。

　　①把剩下5只雞，都放到其中任何一個籠子里，可得五種答案：

　　6+2+3+4+5=20；1+7+3+4+5=20；1+2+8+4+5=20；

　　1+2+3+9+5=20；1+2+3+4+10=20。

　　②把剩下的5只雞，分成1只和4只兩組，分別放到兩個籠子里，可得兩種答案：

　　1+2+3+8+6=20；1+2+7+4+6=20。

　　2、解答：我們根據隊列中最初的位置，按報數的順序依次給每個學生編上序號1、2、3……，再讓這列學生重復1、2報數。

　　①如果每次全隊報完數之后，都是報1的學生出列，則：

　　第一次留下的學生是：2、4、6……，都是2的倍數；

　　第二次留下的學生是：4、8、12……，都是4（22）的倍數；

　　第三次留下的學生是：8、16、24……，都是8（23）的倍數；

　　……

　　②如果每次全隊報完數之后，都是報2的學生出列，則：

　　第一次留下的學生是：1、3、5……，都等于2的倍數加1；

　　第二次留下的學生是：1、5、9……，都等于4（22）的倍數加1；

　　第三次留下的學生是：1、9、17……，都等于8（23）的倍數加1；

　　……

　　根據上面的分析可知，在這個游戲中有兩條規律：一、按第①種規則游戲，n次后留下的學生中第一個的序號就是2n，最后留下的就是這列序號所含的2的最高次冪；二、按第②種規則游戲，則每次留下的學生中，第一個學生都是1號，直到最后留下的還是1號。

　　3、解答：解法一：從第一天開始，依次求出老奶奶家每天剩下的雞蛋（頭天剩下的+新下的一個蛋-吃掉的兩個蛋）。

　　第一天：20+1-2=19；

　　第二天：19+1-2=18；

　　……；

　　一直算到第20天：1+1-2=0。

　　所以老奶奶家的雞蛋可以連續吃20天。

　　解法二：老奶奶家每天要吃兩個雞蛋，老母雞每天下一個雞蛋，所以老奶奶每天只要從20個雞蛋中取一個雞蛋出來加上老母雞下的蛋，就夠吃了。20個雞蛋，每天拿一個，可以拿20天，第21天只有老母雞下的一個蛋， 不夠吃一天。因此，所以老奶奶家的雞蛋可以連續吃20天。

　　4、解答：由題目"小明拿的不是洋娃娃，也不是智力拼圖"，可知道小明拿的是魔方，剩下智力拼圖和洋娃娃兩種禮品，又因為小剛拿的不是智力拼圖，可知道小剛拿的是洋娃娃，剩下智力拼圖就是小華的了。