第一講  行程問題

　　走路、行車、一個物體的移動，總是要涉及到三個數量：

　　距離走了多遠，行駛多少千米，移動了多少米等等；

　　速度在單位時間內（例如1小時內）行走或移動的距離；

　　時間行走或移動所花時間.

　　這三個數量之間的關系，可以用下面的公式來表示：

　　距離=速度×時間

　　很明顯，只要知道其中兩個數量，就馬上可以求出第三個數量.從數學上說，這是一種最基本的數量關系，在小學的應用題中，這樣的數量關系也是最常見的，例如

　　總量=每個人的數量×人數.

　　工作量=工作效率×時間.

　　因此，我們從行程問題入手，掌握一些處理這種數量關系的思路、方法和技巧，就能解其他類似的問題.

　　當然，行程問題有它獨自的特點，在小學的應用題中，行程問題的內容最豐富多彩，饒有趣味.它不僅在小學，而且在中學數學、物理的學習中，也是一個重點內容.因此，我們非常希望大家能學好這一講，特別是學會對一些問題的思考方法和處理技巧.

　　這一講，用5千米/小時表示速度是每小時5千米，用3米/秒表示速度是每秒3米。

　　1.1  追及與相遇

　　有兩個人同時在行走，一個走得快，一個走得慢，當走得慢的在前，走得快的過了一些時間就能追上他.這就產生了“追及問題”.實質上，要算走得快的人在某一段時間內，比走得慢的人多走的距離，也就是要計算兩人走的距離之差.如果設甲走得快，乙走得慢，在相同時間內，

　　甲走的距離-乙走的距離

　　= 甲的速度×時間-乙的速度×時間

　　=（甲的速度-乙的速度）×時間.

　　通常，“追及問題”要考慮速度差.

　　例1 小轎車的速度比面包車速度每小時快6千米，小轎車和面包車同時從學校開出，沿著同一路線行駛，小轎車比面包車早10分鐘到達城門，當面包車到達城門時，小轎車已離城門9千米，問學校到城門的距離是多少千米？

　　解：先計算，從學校開出，到面包車到達城門用了多少時間.

　　此時，小轎車比面包車多走了9千米，而小轎車與面包車的速度差是6千米/小時

　　所用時間=9÷6＝1.5（小時）.

　　小轎車比面包車早10分鐘到達城門，面包車到達時，小轎車離城門9千米，說明小轎車的速度是

　　面包車速度是 54-6＝48（千米/小時）.

　　城門離學校的距離是

　　48×1.5＝72（千米）.

　　答：學校到城門的距離是72千米.

　　例2 小張從家到公園，原打算每分種走50米.為了提早10分鐘到，他把速度加快，每分鐘走75米.問家到公園多遠？

　　解一：可以作為“追及問題”處理.

　　假設另有一人，比小張早10分鐘出發.考慮小張以75米/分鐘速度去追趕，追上所需時間是

　　50 ×10÷（75- 50）＝ 20（分鐘）·

　　因此，小張走的距離是

　　75× 20＝ 1500（米）.

　　答：從家到公園的距離是1500米.

　　一種解法好不好，首先是“易于思考”，其次是“計算方便”.那么你更喜歡哪一種解法呢？對不同的解法進行比較，能逐漸形成符合你思維習慣的解題思路.

　　例3 上午8點8分，小明騎自行車從家里出發，8分鐘后，爸爸騎摩托車去追他，在離家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回頭去追小明，再追上小明的時候，離家恰好是8千米，這時是幾點幾分？

　　解：從爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了

　　8-4＝4（千米）.

　　而爸爸騎的距離是 4＋ 8＝ 12（千米）.

　　這就知道，爸爸騎摩托車的速度是小明騎自行車速度的 12÷4＝3（倍）.按照這個倍數計算，小明騎8千米，爸爸可以騎行8×3＝24（千米）.

　　但事實上，爸爸少用了8分鐘，騎行了

　　4＋12＝16（千米）.

　　少騎行24-16＝8（千米）.

　　摩托車的速度是1千米/分，爸爸騎行16千米需要16分鐘.

　　8＋8＋16＝32.

　　答：這時是8點32分.

　　下面講“相遇問題”.

　　小王從甲地到乙地，小張從乙地到甲地，兩人在途中相遇，實質上是小王和小張一起走了甲、乙之間這段距離.如果兩人同時出發，那么

　　甲走的距離+乙走的距離

　　=甲的速度×時間+乙的速度×時間

　　=（甲的速度+乙的速度）×時間.

　　“相遇問題”，常常要考慮兩人的速度和.

　　例4 甲、乙兩車分別從A，B兩地同時出發，相向而行，6小時后相遇于C點.如果甲車速度不變，乙車每小時多行5千米，且兩車還從A，B兩地同時出發相向而行，則相遇地點距C點12千米；如果乙車速度不變，甲車每小時多行5千米，且兩車還從A，B兩地同時出發相向而行，則相遇地點距C點16千米.求A，B兩地距離.

　　解：先畫一張行程示意圖如下

　　設乙加速后與甲相遇于D點，甲加速后與乙相遇于E點.同時出發后的相遇時間，是由速度和決定的.不論甲加速，還是乙加速，它們的速度和比原來都增加5千米，因此，不論在D點相遇，還是在E點相遇，所用時間是一樣的，這是解決本題的關鍵.

　　下面的考慮重點轉向速度差.

　　在同樣的時間內，甲如果加速，就到E點，而不加速，只能到 D點.這兩點距離是 12＋ 16＝ 28（千米），加速與不加速所形成的速度差是5千米/小時.因此，在D點

　　（或E點）相遇所用時間是

　　28÷5＝ 5.6（小時）.

　　比C點相遇少用 6-5.6＝0.4（小時）.

　　甲到達D，和到達C點速度是一樣的，少用0.4小時，少走12千米，因此甲的速度是

　　12÷0.4＝30（千米/小時）.

　　同樣道理，乙的速度是

　　16÷0.4＝40（千米/小時）.

　　A到 B距離是（30＋ 40）×6＝ 420（千米）.

　　答： A，B兩地距離是 420千米.

　　很明顯，例7不能簡單地說成是“相遇問題”.