五十道行程問題詳解四

　　18、一個圓的周長為60厘米，三個點把這個圓圈分成三等分，3只甲蟲A、B、C按順時針方向分別在這三個點上，它們同時按逆時針方向沿著圓圈爬 行，A的速度為每秒5厘米，B的速度為每秒1．5厘米，C的速度為每秒2．5厘米．問3只甲蟲爬出多少時間后第一次到達同一位置?

　　解：我們先考慮B、C兩只甲蟲什么時候到達同一位置，C與B相差20厘米，C追上B需要20÷(2．5-1．5)=20(秒)．而20秒后每次追及又 需60÷(2.5-1.5)=60(秒)；再考慮 A與C，它們第一次到達同一位置要20÷(5-2．5)=8(秒)，而8秒后，每次追及又需60÷(5--2．5)=24（秒)．可分別列出A與C、B與 C相遇的時間，推導出3只甲蟲相遇的時間

　　解：(1)C第一次追上B所需時間20÷(2．5-1．5)=20(秒)．

　　(2)以后每次C追上B所需時間： 60÷(2．5-1．5)=60(秒)．

　　(3)C追上B所需的秒數依次為：    20，80，140，200，…．

　　(4)A第一次追上C所需時間：20÷(5-2．5)=8(秒)．

　　(5)以后A每次追上C所需時間：60÷(5--2．5)=24（秒)

　　(6)A追上C所需的秒數依次為：  8，32，56，80，104…．

　　19、甲、乙二人分別從A、B兩地同時出發，如果兩人同向而行，甲26分鐘趕上乙；如果兩人相向而行，6分鐘可相遇，又已知乙每分鐘行50米，求A、B兩地的距離。

　　解：　先畫圖如下：

　　【方法一】 若設甲、乙二人相遇地點為C，甲追及乙的地點為D，則由題意可知甲從A到C用6分鐘.而從A到D則用26分鐘，因此，甲走C到D之間的路程時，所用時間應為：（26-6）=20（分）。

　　同時，由上圖可知，C、D間的路程等于BC加BD.即等于乙在6分鐘內所走的路程與在26分鐘內所走的路程之和，為50×（26＋6）=1600（米）.所以，甲的速度為1600÷20＝80（米/分），由此可求出A、B間的距離。

　　50×（26+6）÷（26-6）=50×32÷20＝80（米/分）

　　（80+50）×6＝130×6=780（米）

　　答：A、B間的距離為780米。

　　【方法二】設甲的速度是x米/分鐘

　　那么有(x-50)×26=(x+50)×6

　　解得x=80

　　所以兩地距離為(80+50)×6=780米

　　20.甲、乙兩人同時從山腳開始爬山，到達山頂后就立即下山，他們兩人的下山速度都是各自上山速度的1.5倍，而且甲比乙速度快，兩人出發后1小時，甲與乙在離山頂600米處相遇，當乙到達山頂時，甲恰好下到半山腰。那么甲回到出發點共用多少小時？

　　解析：由甲、乙兩人下山的速度是上山的1.5倍，有：

　　⑴甲、乙相遇時，甲下山600米路程所需時間，相當于甲上山走600÷1.5=400米的時間。所以甲、乙以上山的速度走一小時，甲比乙多走600+400=1000米。

  

　　根據⑴的結論，甲以上山的速度走1小時的路程比山坡長度多400，所以山坡長3600米。

　　1小時后，甲已下坡600米，還有3600-600=3000米。所以，甲再用3000÷6000=0.5小時。

　　總上所述，甲一共用了1+0.5=1.5小時。

　　評注：   本題關鍵在轉化，把下山的距離再轉化為上山的距離，這種轉化是在保證時間相等的情況下。通過轉化，可以理清思路。但是也要分清哪些距離是上山走的，哪些是下山走的。