奇偶分析習題18

　　5．能否將1至25這25個自然數分成若干組，使得每一組中的最大數都等于組內其余各數的和？

　　6．在象棋比賽中，勝者得1分，敗者扣1分，若為平局，則雙方各得0分。今有若干個學生進行比賽，每兩人都賽一局。現知，其中有一位學生共得7分，另一位學生共得20分，試說明，在比賽過程中至少有過一次平局。

　　7．在黑板上寫上1，2，…，909，只要黑板上還有兩個或兩個以上的數就擦去其中的任意兩個數a，b，并寫上a-b（其中a≥b）。問：最后黑板上剩下的是奇數還是偶數？

　　8．設a1，a2，…，a64是自然數1，2，…，64的任一排列，令b1=a1-a2，b2=a3-a4，…，b32=a63-a64；

　　c1=b1-b2，c2=b3-b4，…，c16=b31-b32；

　　d1=c1-c2，d2=c3-c4，…，d8=c15-c16；

　　……

　　這樣一直做下去，最后得到的一個整數是奇數還是偶數？

答案：

　　5.不能。提示：仿例3。

　　6.證：設得7分的學生勝了x1局，敗了y1局，得 20分的學生勝了x2局，敗了y2局。由得分情況知：

　　x1-y1=7，x2-y2＝20。

　　如果比賽過程中無平局出現，那么由每人比賽的場次相同可得x1+y1=x2+y2，即x1+y1+x2+y2是偶數。另一方面，由x1- y1=7知x1+y2為奇數，由x2-y2=20知x2+y2為偶數，推知x1+y1+x2+y2為奇數。這便出現矛盾，所以比賽過程中至少有一次平局。

　　7.奇數。解：黑板上所有數的和S＝1+2+…＋909是一個奇數，每操作一次，總和S減少了a+b-（a-b）=2b，這是一個偶數，說明總和S的奇偶性不變。由于開始時S是奇數，因此終止時S仍是一個奇數。

　　8.偶數。

　　解：我們知道，對于整數a與b，a+b與a-b的奇偶性相同，由此可知，上述計算的第二步中，32個數

a1-a2， a3-a4，…，a63-a64，

　　分別與下列32個數
 

a1+a2， a3+a4，…，a63+a64，

　　有相同的奇偶性，這就是說，在只考慮奇偶性時，可以用“和”代替“差”，這樣可以把原來的計算過程改為

　　第一步：a1，a2，a3，a4，…，a61，a62，a63，a64；

　　第一步：a1+a2，a3+a4，…，a61+a62，a63+a64；

　　第三步：a1+a2+a3+a4，…，a61+a62+a63+a64；

　　……

　　最后一步所得到的數是a1+a2+…+a63+a64。由于a1，a2，…，a64是1，2，…，64的一個排列，因此它們的總和為1+2+…+64是一個偶數，故最后一個整數是偶數