歐拉發(fā)現(xiàn)在多面體的頂點(diǎn)、邊與面的數(shù)目間存在著一種簡(jiǎn)單的關(guān)系，這種關(guān)系被視為圖論（graph theory）中相當(dāng)重要的定理。
你現(xiàn)在應(yīng)該可以自己敘述歐拉關(guān)系了。看看此關(guān)系是否也能適用于其他的多面體，檢驗(yàn)一下你的推論。
當(dāng)時(shí)歐拉認(rèn)為這只是多面體的性質(zhì)，但后來(lái)數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)這種關(guān)系也能適用于球面或平面上的網(wǎng)絡(luò)。
考慮如圖1的網(wǎng)絡(luò)。其中有3個(gè)結(jié)點(diǎn)A、B、C，4條弧p、q、r、s；這個(gè)網(wǎng)絡(luò)把平面分成3個(gè)區(qū)域1、2、3.這些數(shù)目滿足下列關(guān)系：
N-A+R=2
N為結(jié)點(diǎn)的數(shù)目，A為弧的數(shù)目，R為區(qū)域的數(shù)目。你覺(jué)得這與多面體的關(guān)系是否有什么類似之處？
現(xiàn)在把上述的關(guān)系式用在其他的網(wǎng)絡(luò)上，試試結(jié)果如何。
你是否試過(guò)圖2中不相連的網(wǎng)絡(luò)？
你應(yīng)該會(huì)發(fā)現(xiàn)，上述的關(guān)系式需要視網(wǎng)絡(luò)中分離部分的數(shù)目作修正。看看你是否能找到一個(gè)公式，不管網(wǎng)絡(luò)中到底有多少部分，都能成立。
“歐拉關(guān)系”與“網(wǎng)絡(luò)關(guān)系”之間的聯(lián)系可以用圖3說(shuō)明。
想象一下，用具有彈性的材料做一個(gè)立方體，可以如圖3的方式伸展，然后壓平，成為平面上的網(wǎng)絡(luò)。原來(lái)立方體的每一個(gè)頂點(diǎn)現(xiàn)在都成為網(wǎng)絡(luò)中的結(jié)點(diǎn)，原來(lái)立方體的每一條邊現(xiàn)在則成為網(wǎng)絡(luò)中的一條弧。
立方體的每一面現(xiàn)在都成為平面中的一個(gè)區(qū)域，只除了ABCD之外，不過(guò)也可以把ABCD看成是代表網(wǎng)絡(luò)外部的區(qū)域。所有多面體以這種方式變換都可得到類似的結(jié)果，但要注意的是，對(duì)有洞的多面體需要做進(jìn)一步的考察。
如果將多面體看作是三維空間分隔成不同區(qū)域，則對(duì)歐拉的關(guān)系式還可以作進(jìn)一步推廣。
考慮一下最簡(jiǎn)單的多面體——四面體（圖4）。
四面體將空間分成兩個(gè)區(qū)域，且
V-E+F-R=4-6+4-2=0
其中V、E、F各代表多面體的頂點(diǎn)、邊與面的數(shù)目，R為區(qū)域的數(shù)目。現(xiàn)在在立方體上加一個(gè)金字塔形的角錐體。這種組合將空間分成3個(gè)區(qū)域，包括9個(gè)頂點(diǎn)、16條邊與10個(gè)面（圖5）。
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V-E+F-R=0
這是由歐拉原始的關(guān)系式推廣得出的另一個(gè)關(guān)系式。用其他的方法分割空間，檢驗(yàn)一下這個(gè)關(guān)系式。
