讓“數”與“形”和諧交融

　　－―小學教師在“數與代數”領域中運用“數形結合”情況調查報告

　　內容摘要：數形結合思想----就是將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來，使抽象思維與形象思維結合。筆者對小學教師在“數與代數”領域中運用“數形結合”的現狀展開調查，旨在通過調查，了解教師運用數形結合思想方法的意識、范圍、方式的現狀，提出在小學數學“數與代數”領域教學中滲透、運用數形結合思想方法的具體建議，從而提高教師運用數形結合思想方法進行教學的能力。

　　關鍵詞：數形結合  數與代數  調查

　　一、問題的提出

　　筆者2006年10－12月在杭州聽了兩節 “數與代數”領域的課，唐彩斌老師的《正歸一應用題》和任敏龍老師的《乘法分配律》，這兩節課最大的特色就是利用“數形結合”的思想來設計，新穎又創新，引起筆者對“數形結合思想方法”在“數與代數”領域應用的思考。

　　數形結合是數學中重要思想方法之一。它既具有數學學科的鮮明特點，又是數學研究的常用方法。數形結合思想----就是將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來，使抽象思維與形象思維結合。“數形結合思想方法”的重要性是不言而喻。在現階段，小學數學教師對“數形結合思想方法”在小學數學“數與代數”領域教學中運用的情況如何？現狀產生的原因的是什么？教師應該如何進行有效的滲透數形結合思想方法？本文將對教師在“數與代數”領域中運用“數形結合思想方法” 的現狀展開調查，并由此引發一些思考。

　　二、調查對象、內容和方法

　　1、調查對象

　　本次調查隨機抽樣了甌海區三所學校（實驗小學、鎮中心學校、村小）三、四、五年級學生總共180名，這三所小學數學教師共32名。

　　2、調查內容

　　本調查內容分為三大塊：運用數形結合思想方法的意識，運用數形結合思想方法的范圍，運用數形結合思想方法的方式。

　　3、調查方法：問卷調查和個別訪談相結合

　　4、調查過程

　　2007年3月5－6日，在學生不知情的情況下，隨機抽取三所學校三、四、五年級共180名學生進行調查。共發放問卷180份，回收有效問卷180份（占100％）。對三所學校教師的調查和學生的調查同步進

　　行，共發放問卷32份，回收32份（占100％），并對32位老師進行個別訪談。

　　三、調查結果與分析

　　對回收問卷的逐項統計，發現當前小學數學教師對“數形結合思想方法”在“數與代數”領域教學中的運用存在著以下幾個較為普遍的現象：

　　（一）主動運用意識淡薄

　　無論是教師訪談，還是調查都表明：教師已經意識到數形思想方法的作用，但主動運用意識比較淡薄。調查中我們發現：

　　1、意識到數形結合思想方法運用的重要性。

　　調查顯示100％的老師認為在小學數學“數與代數”領域教學中有必要滲透數形結合思想，100%的老師認為在教學中有結合數形結合思想來進行教學（見表一），而且對教師的訪談中了解到，大部分老師都反映數形結合有助于學生把數這個抽象的概念與較為直觀的形緊密地聯系起來，產生思維的火花，從而達到簡化問題，解決問題的目的。由此可見，大部分的教師在調查中有意識到數形結合思想方法在教學中的重要性。

　　2、主動運用數形結合思想方法的意識淡薄。

　　在現實世界中，數與形是不可分離地結合在一起的，這是直觀與抽象相結合，感知與思維相結合的體現。數與形相結合不僅是數學自身發展的需要，也是加深對數學知識的理解、發展智力、培養能力的需要。但從訪談中也了解到大部分老師表示對數形結合思想不是很了解，訪談中了解到大部分老師表示沒有想過運用數形結合的思想來進行教學，調查中僅3.1％的老師重視了數形結合思想滲透和運用（見表一）。由此可見，老師們在平時的教學中數形結合思想進行教學是以無意識為主，缺乏主動運用數形結合思想進行教學的意識。

　　表一：教師調查統計表

　　題目 選項 人數 百分率（％）

　　您覺得在小學數學“數與代數”領域教學中有必要滲透數形結合思想嗎？ A有必要 32 100

　　B 一般 0 0

　　C 沒有必要 0 0

　　您在“數與代數”領域教學中有滲透數形結合思想嗎？ A 經常有 5 15.6

　　B 偶爾 27 84.4

　　C 沒有 0 0

　　您在“數與代數”領域教學中重視數形結合思想的滲透嗎？ A非常重視 1 3.1

　　B 一般 14 43.8

　　C 不重視 17 53.1

　　（二）運用范圍狹窄

　　教師在“數與代數”領域教學中對“數形結合思想方法”運用范圍比較狹窄，已成為一個非常突顯的問題。調查的32位教師中（見圖二），選擇只有在某一個方面運用數形結合思想方法的有17位教師，占了總人數的53.1％，選擇兩個方面來運用教師占了28.1％，選擇在三個方面來運用教師占了12.5％，選擇在三個方面以上來運用教師僅占了6.3％。從訪談中還了解到大部分老師只有局限于在解決問題方面來運用比較多，可以看出教師在教學過程中數形結合思想方法的運用范圍比較狹窄。

　　圖二：形結合思想方法在“數與代數”領域教學中運用情況統計圖

　　（三）體現方式單一

　　調查中發現在“數與代數”領域中體現數形結合思想的形式中，選擇只選擇一種形式運用數形結合思想方法的教師占了總人數的46.9％，選擇兩種形式來運用的教師占了37.5％，選擇在三種形式來運用的教師占了9.4％，選擇在三種形式以上來運用的教師僅占了6.3％（見圖三）。可以看出教師在教學過程中數形結合思想方法的體現方式比較單一，而且在只選擇一種形式的15位教師中有12位是采用畫線段圖的方式。由此可見，教師對數形結合思想的認識比較局限，導致了選擇形式單一的局面。

　　圖三：數形結合思想方法體現形式種類統計圖

　　由于教師的主動運用數形結合思想方法的意識淡薄，在“數與代數”領域運用范圍比較狹窄，體現方式比較單一，那學生的問題自然顯現出來：表四顯示在平時的數學學習過程中只有6．7％的學生會經常會借助圖形來理解問題，有43．9％的學生從來沒有借助圖形來理解問題。在調查的180人中只有37人在解決問題有困難的時候才會選擇畫圖來幫助自己理解題目，僅占了20.6％，從兩組數據反映出學生主動運用的意識也比較淡薄。調查中還了解到在解決問題過程中180 位學生只有42位學生運用數形結合思想方法來幫助自己理解，占了總人數的23.3％。

　　表四：學生調查統計表

　　題目 選項 人數  百分率（％）

　　你覺得圖文結合對于理解問題有幫助嗎？ A有 124 68.9

　　B 沒有 12 6.7

　　C 無所謂 44 24.4

　　當你在解決問題的過程中遇到困難的時候，你會借助什么？ A請教老師或同學 116 64.4

　　B 畫圖分析 37 20.6

　　C其他  27 15

　　你會借助圖形來分析題目嗎？ A經常 12 6.7

　　B偶爾 89 49.4

　　C 沒有 79 43.9

　　在一個空量杯中倒入600克水，占到這個杯子的。如果把這個杯子倒滿，還要倒入多少克水？ 有借助數形結合 42 23.3

　　沒有借助數形結合 138 76.7

　　四、思考與建議

　　根據以上的調查和分析結果，教師要加強學生主動運用數形結合思想方法的意識，豐富數形結合思想方法的方式和內容，促進學生運用數形結合思想方法的能力的提高。具體可以采取以下措施。

　　強化意識  體會作用

　　我國著名數學家華羅庚所說：“數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好，隔裂分家萬事休。”數形結合思想方法能巧妙地實現數與形之間的互換，使得看似無法解決的問題簡單化、明朗化，讓人有“山窮水盡疑無路，柳暗花明又一村”的感覺。數形結合思想方法在解題中的重要性決定了它在平時的教學中也應該受到重視。在數學教學中教師要有意識地溝通數、形之間的聯系，幫助學生逐步樹立起數形相結合的觀點，提高主動運用的意識，并使這一觀點扎根到學生的認知結構中去，成為運用自如的思想觀念和思維工具，從而提高學生數學修養與解題能力。

　　例如，在教學“小明家雞有5只，鴨有7只，鴨比雞多幾只？”這一個問題的時候，筆者就有意識的問學生，“如果用畫圖的方法來表示，你有困難嗎？你有什么辦法解決？”學生合作討論，想到了用○、△等示意圖來代替雞、鴨實物圖，從圖中一眼看出鴨比雞多，多2只。然后教師在“5”、“7”后面添上0，變成 “50”、“70”，學生感受到示意圖直觀形象，不僅能看出誰比誰多，還能看出多多少？但當數據較大時也有局限性，從而想到了類似下面的圖 。

　　⑩  ⑩  ⑩   ⑩  ⑩

　　△ △ △ △ △ △ △

　　還有人想到了線段圖，整理成：

　　50只

　　雞：└───────────────┘

　　70只

　　鴨：└────────────────────┘

　　在這樣的探究過程中，教師把“數學結合思想方法”有意識的滲透在學生獲得知識和解決問題的過程中，充分利用直觀圖形，把抽象內容的數量關系視覺化、具體化、形象化，化深奧為淺顯，讓學生在觀察、實驗、分析、抽象、概括的過程中，看到知識背后負載的方法、蘊涵的思想，那么，學生所掌握的知識才是鮮活的，可遷移的，學生的數學素質才能得到質的飛躍。

　　（二）擴大范圍  廣泛應用

　　以數與形相結合的原則進行教學，這就要求我們切實掌握數形結合的思想方法，以數形相結合的觀點鉆研教材，努力挖掘教材中可以進行數形結合思想方法滲透的各種因素,都要考慮如何結合具體內容進行數形結合思想方法滲透。“數形結合思想方法”包含“以形助數”和“以數輔形”兩個方面，在小學數學“數與代數”領域教學中，用得最多的是前者，我們可以把數學結合思想方法滲透在“數與代數”領域中的每一內容。

　　1、數的認識方面，對“數與代數”領域的“數的認識”中利用數形結合思想方法教學，例如在教學《1000以內數的認識》這節課教學中利用小立方體有效的幫助學生構建知識，以及初步感知十進制的計數方法。數數的難點就是接近整百的數，學生無法感受抽象的數數之間滿10的變化，那么我們就將數數的抽象思考方式放大，將思維暴露出來，讓學生通過觀察小方塊的變化，一對一的數數，在數到9變成10時，通過演示讓學生理解10的由來同時強化十進制關系。同時通過 “形”來感知數的多少，既形象又深刻，培養了學生良好的數感。

　　2、數的運算方面，借助“形”來幫助學生理解非常重要，除了我們常用的可以利用小棒等實物或圖形來理解算理外，我們還可以豐富其內容，比如：“20以內加法”的教學中可以滲透數形結合思想，畫一個坐標軸，橫5，豎8，加起來13，對形數結合的思想進行早期滲透和培養。

　　再比如在問題解決方面，借助數形結合能化抽象為形象，幫助學生建立直觀模型，讓數量關系更形象、更清晰。例如筆者在教學“一個數是另一個數的幾倍？”問題時，設計以下三個片斷：

　　（1）

　　擺1架飛機用了（  ）根小棒，10根可以擺（  ）架飛機，也就是10是5的（ ）倍。

　　（2）

　　（3）

　　以上三個環節充分利用直觀的“形”逐步滲透抽象的“1倍量”，幫助學生建立數量關系，用小棒擺“飛機”，學生通過用小棒擺“飛機”的操作中初步感知“1 倍量”形成的過程，既直觀又形象，僅接著出示30根小棒擺成6架飛機，進一步感受“1倍量”的重要性；小朋友與小狗比身高圖，借助南瓜，3個南瓜的高度跟小狗高度一樣，用具體形象的情境再次體驗抽象的“1倍量”；第三個環節再抽象到線段圖。整個過程數形結合，在直觀圖示的導引下，將“求一個數是另一個數的幾倍” 轉化為“求一個數里面有幾個幾”的問題，使問題化難為易，化抽象為具體。

　　3、常見的量方面，例如在教學《24時記時法》的教學中可以利用鐘表上的刻度，1個大格代表1小時，24小時就是鐘面上的時針走了2圈，同時形象的理解了0時和24時在同一點上，讓具體的“形”與抽象的數相輔相成。

　　4、式與方程方面，例如，在認識方程的教學過程中，可以利用天平稱中的等量幫助學生理解方程中的等量關系。

　　5、正比例、反比例方面，可以利用有坐標系的方格紙上畫圖的方式，讓數形結合根據給出的有正比例關系的數據的其中的一個量的值來估計另一個量的值。

　　6、探索規律方面，例如，認識找豎列1，3，6，10……的規律時，可以利用圖形：    ……。數形結合讓事物中隱含的規律形象化，直觀化，幫助學生尋找和發現規律，并在腦中留下深刻的印記。

　　以上例子僅是代表而已，只要我們留意，數形結合思想方法存在“數與代數”領域的每一個角落。

　　（三）豐富方式  形式多樣

　　數形結合的思想方法是數學學科里最常用的一種方法，它包含了轉化、配方、分類討論、方程思想等數學思想方法，可見數形結合思想方法是數學中極具綜合性的思想方法。在平常的教學活動中讓學生學到數形結合的方法。教師可以采用多種方式精心組織學生訓練，讓學生置身于具體的教學過程，才能在教師的引導下逐步領悟，理解和掌握。可以采用以下方式：

　　1、運用或聯想實物。

　　2、畫圖。畫圖的形式很多，包括畫線段圖、畫圖形、畫示意圖、畫面積圖、畫點子圖、集合圖等等。

　　3、利用數軸。數軸是體現數形結合思想的一個重要方法。利用數軸，找到實數與數軸上的點的對應關系，讓數與數軸這個“形”，緊密融合在一起。例如，筆者在教學《小數大小比較》時，由于學生在學習本節課的內容之前只是初步的認識了小數，還沒有深入的學習小數的意義，因此學生在總結比較的方法時用抽象的數學語言比較困難。當文字的表述有困難時，利用數軸能很好的解決這一問題。因為對于每一個小數，數軸上都有唯一確定的點于它對應，因此，兩個小數的大小比較，是通過這兩個小數在數軸上的對應點的位置關系進行的。借助數軸讓學生理解小數的大小，知道在數軸上越往后這個數越大，越往前這個數就越小。這節課還設計了這樣一道練習：

　　0.3 > (      ) > (      ) > (       ) > (        ) >0.2

　　在數軸上找出小于0.3大于0.2的小數以及能找出幾個，這個練習借助數軸，讓抽象的數學變得具體、形象。

　　4、幾何模型。例如，教學“1－－－…－＝”，對于小學生來說由于邏輯推理有一定的難度，一批中下學生不容易明白，筆者采用幾何模型進行教學，學生都輕松的掌握了。將上面的算式構造成下面的幾何模型圖，把一個大正方形看成單位“1”(如左圖)，一次又一次地進行平均分。從圖上很容易看出1－－－…－＝。運用數形結合思想方法可以把代數與幾何溝通了，使形直觀地反映數內在的聯系，拓寬思路，把復雜問題簡單化，從而順利且快速的解決問題，使數學知識變的更有生命力，讓人回味無窮。我們提倡多少方式來滲透數形結合思想，要培養學生胸中有圖見數想圖，以開拓學生的思維視野。

　　五、進一步討論的問題

　　1、“先數后形”與“先形后數”的呈現如何協調？

　　在數形結合的教學過程中，應該慎重考慮“先數后形”還是“先形后數”。兩者呈現的結果是不一樣的，如何把握？還要繼續研究。

　　2、數形結合思想和抽象邏輯思維訓練如何平衡？

　　數形結合思想有助于學生思維更形象，數形結合思想的方法不是萬能妙藥，提高學生的抽象邏輯思維能力也是非常重要的，兩者如何平衡？還有待于進一步研究。

　　【參考書目】

　　[1] 蔣巧君：《數形結合是促進學生意義建構的有效策略》.《小學數學教師》. 2006、4

　　[2] 高紅梅：《“數”與“形”教學設計》.《中小學數學》.2005、9

　　[3] 姜榮富：《圖形直觀對學生解決數學問題影響的研究》.《小學青年教師》. 2006、11

　　[4] 陳明榮：《小學數學思想方法滲透的實踐與思考》.《數學月刊》2005年第9期

　　附件1：

　　關于數形結合思想在小學數學教學中的現狀的問卷調查（教師）

　　1、您覺得在小學數學“數與代數”領域中教學中有必要滲透數形結合思想嗎？（       ）

　　A   有      B  沒有   C  無所謂

　　2、您在小學數學“數與代數”領域教學中重視數形結合思想的運用嗎？（       ）

　　A  非常重視  B 一般    C 不重視    D 沒有想過

　　3、您在小學數學“數與代數”領域教學中有滲透數形結合思想嗎？（       ）

　　A   經常有      B  偶爾   C  沒有

　　4、“數與代數”領域教學中你在哪些方面會滲透數形結合思想？

　　5、在“數與代數”領域教學中您以哪些形式體現數形結合思想？

　　附件2：

　　關于數形結合思想方法在小學數學教學中的現狀的問卷調查（學生）

　　1、你覺得圖文結合對于理解題目有幫助嗎？（       ）

　　A 有        B 沒有       C 無所謂

　　2、你會借助圖形來分析題目嗎？（       ）

　　A 經常      B  偶爾      C沒有

　　3、當你在解決問題的過程中遇到困難的時候，你會借助什么？（       ）

　　A請教老師或同學     B畫圖分析    C 其他

　　4、在一個空量杯中倒入600克水，占到這個杯子的。如果把這個杯子倒滿，還要倒入多少克水？