一個數如果是另一個整數的完全平方，那么我們就稱這個數為完全平方數，也叫做平方數。例如：0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,… 　　觀察這些完全平方數，可以獲得對它們的個位數、十位數、數字和等的規律性的認識。下面我們來研究完全平方數的一些常用性質：

　　性質1：完全平方數的末位數只能是0,1,4,5,6,9。

　　性質2：奇數的平方的個位數字為奇數，十位數字為偶數。

　　證明 奇數必為下列五種形式之一：

　　10a+1, 10a+3, 10a+5, 10a+7, 10a+9

　　分別平方后，得

　　(10a+1)^2=100a^2+20a+1=20a(5a+1)+1

　　(10a+3)^2=100a^2+60a+9=20a(5a+3)+9

　　(10a+5)^2=100a^2+100a+25=20 (5a+5a+1)+5

　　(10a+7)^2=100a^2+140a+49=20 (5a+7a+2)+9

　　(10a+9)^2=100a^2+180a+81=20 (5a+9a+4)+1

　　綜上各種情形可知：奇數的平方，個位數字為奇數1,5,9；十位數字為偶數。

　　性質3：如果完全平方數的十位數字是奇數，則它的個位數字一定是6；反之，如果完全平方數的個位數字是6，則它的十位數字一定是奇數。

　　證明 已知m^2=10k+6，證明k為奇數。因為的個位數為6，所以m的個位數為4或6，于是可設m=10n+4或10n+6。

　　則 　　10k+6=(10n+4)^2=100+(8n+1)x10+6

　　或 10k+6=(10n+6)^2=100+(12n+3)x10+6

　　即 k=10+8n+1=2(5+4n)+1

　　或 k=10+12n+3=2(5+6n)+3

　　∴ k為奇數。

　　推論1：如果一個數的十位數字是奇數，而個位數字不是6，那么這個數一定不是完全平方數。 　　推論2：如果一個完全平方數的個位數字不是6，則它的十位數字是偶數。

　　性質4：偶數的平方是4的倍數；奇數的平方是4的倍數加1。

　　這是因為 (2k+1)=4k(k+1)+1 　　(2k)=4

　　性質5：奇數的平方是8n+1型；偶數的平方為8n或8n+4型。

　　在性質4的證明中，由k(k+1)一定為偶數可得到(2k+1)是8n+1型的數；由為奇數或偶數可得(2k)為8n型或8n+4型的數。

　　性質6：平方數的形式必為下列兩種之一：3k,3k+1。

　　因為自然數被3除按余數的不同可以分為三類：3m,3m+1, 3m+2。平方后，分別得

　　(3m)=9=3k

　　(3m+1)=9+6m+1=3k+1

　　(3m+2)=9+12m+4=3k+1

　　同理可以得到：

　　性質7：不能被5整除的數的平方為5k±1型，能被5整除的數的平方為5k型。

　　性質8：平方數的形式具有下列形式之一：16m,16m+1, 16m+4,16m+9。

　　除了上面關于個位數，十位數和余數的性質之外，還可研究完全平方數各位數字之和。例如，256它的各位數字相加為2+5+6=13，13叫做256的各位數字和。如果再把13的各位數字相加：1+3=4，4也可以叫做256的各位數字的和。下面我們提到的一個數的各位數字之和是指把它的各位數字相加，如果得到的數字之和不是一位數，就把所得的數字再相加，直到成為一位數為止。我們可以得到下面的命題： 　　一個數的數字和等于這個數被9除的余數。

　　下面以四位數為例來說明這個命題。

　　設四位數為，則

　　= 1000a+100b+10c+d

　　= 999a+99b+9c+(a+b+c+d)

　　= 9(111a+11b+c)+(a+b+c+d)

　　顯然，a+b+c+d是四位數被9除的余數。

　　對於n位數，也可以仿此法予以證明。

　　關於完全平方數的數字和有下面的性質：

　　性質9：完全平方數的數字之和只能是0,1,4,7,9。

　　證明 因為一個整數被9除只能是9k,9k±1, 9k±2, 9k±3, 9k±4這幾種形式，而

　　(9k)=9(9)+0

　　(9k±1)=9(9±2k)+1

　　(9k±2)=9(9±4k)+4

　　(9k±3)=9(9±6k)+9

　　(9k±4)=9(9±8k+1)+7

　　除了以上幾條性質以外，還有下列重要性質：

　　性質10：為完全平方數的充要條件是b為完全平方數。

　　性質11：如果質數p能整除a，但p的平方不能整除a，則a不是完全平方數。

　　證明 由題設可知，a有質因數p，但無因數，可知a分解成標準式時，p的次方為1，而完全平方數分解成標準式時，各質因數的次方均為偶數，可見a不是完全平方數。

　　性質12：在兩個相鄰的整數的平方數之間的所有整數都不是完全平方數，即若 　　n^2 < k^2 < (n+1)^2 　　則k一定不是整數。

　　性質13：一個正整數n是完全平方數的充分必要條件是n有奇數個因數(包括1和n本身)。