在日常工作、生活和娛樂中，經常會遇到有關行程路線的問題.在這一講里，我們主要解決的問題是如何確定從某處到另一處最短路線的條數。

    例1 下圖4—1中的線段表示的是汽車所能經過的所有馬路，這輛汽車從A走到B處共有多少條最短路線？

　　分析 為了敘述方便，我們在各交叉點都標上字母.如圖4—2.在這里，首先我們應該明確從A到B的最短路線到底有多長？從A點走到B點，不論怎樣走，最短也要走長方形AHBD的一個長與一個寬，即AD＋DB.因此，在水平方向上，所有線段的長度和應等于AD；在豎直方向上，所有線段的長度和應等于DB.這樣我們走的這條路線才是最短路線.為了保證這一點，我們就不應該走“回頭路”，即在水平方向上不能向左走，在豎直方向上不能向上走.因此只能向右和向下走。

　　有些同學很快找出了從A到B的所有最短路線，即：

　　A→C→D→G→B A→C→F→G→B

　　A→C→F→I→B A→E→F→G→B

　　A→E→F→I→B A→E→H→I→B

　　通過驗證，我們確信這六條路線都是從A到B的最短路線.如果按照上述方法找，它的缺點是不能保證找出所有的最短路線，即不能保證“不漏”.當然如果圖形更復雜些，做到“不重”也是很困難的。

　　現在觀察這種題是否有規律可循。

　　1.看C點：由A、由F和由D都可以到達C，而由F→C是由下向上走，由D→C是由右向左走，這兩條路線不管以后怎樣走都不可能是最短路線.因此，從A到C只有一條路線。

　　同樣道理：從A到D、從A到E、從A到H也都只有一條路線。

　　我們把數字“1”分別標在C、D、E、H這四個點上，如圖4—2。

　　2.看F點：從上向下走是C→F，從左向右走是E→F，那么從A點出發到F，可以是A→C→F，也可以是A→E→F，共有兩種走法.我們在圖4—2中的F點標上數字“2”.2=1＋1.第一個“1”是從A→C的一種走法；第二個“1”是從A→E的一種走法。

　　3.看G點：從上向下走是D→G，從左向右走是F→G，那么從A→G

　　

　　我們在G點標上數字“3”.3＝2+1，“2”是從A→F的兩種走法，“1”是從A→D的一種走法。

　　4.看I點：從上向下走是F→I，從左向右走是H→I，那么從出發點

　　

　　在I點標上“3”.3=2+1.“2”是從A→F的兩種走法；“1”是從A→H的一種走法。

　　5.看B點：從上向下走是G→B，從左向右走是I→B，那么從出發點A→B可以這樣走：

　　

　　共有六種走法.6=3＋3，第一個“3”是從A→G共有三種走法，第二個“3”是從A→I共有三種走法.在B點標上“6”。

　　我們觀察圖4—2發現每一個小格右下角上標的數正好是這個小格右上角與左下角的數的和，這個和就是從出發點A到這點的所有最短路線的條數.這樣，我們可以通過計算來確定從A→B的最短路線的條數，而且能夠保證“不重”也“不漏”。

　　解：由上面的分析可以得到如下的規律：每個格右上角與左下角所標的數字和即為這格右下角應標的數字.我們稱這種方法為對角線法，也叫標號法。

　　

　　根據這種“對角線法”，B點標6，那么從A到B就有6條不同的最短路線（見圖4—3）。

　　答：從A到B共有6條不同的最短路線。