保羅·厄多斯（Paul Erdth 1913—） 1983年以色列政府頒給十萬美元“沃爾夫獎金”（Wolf Prize）就是由他和華裔美籍的陳省身教授平分。

　　浪跡天涯的數學家

　　厄多斯是當代發表最多數學論文的數學家，也是全世界和各種各樣不同國籍的數學家合作發表論文最多的人；他也是旅行最多地方、四海為家的數學家。

　　如果你聽過這樣的歌：“我是一個孤獨的牛仔，浪跡天涯……”厄多斯教授一定會改唱為：“我是一個快樂的非常老的老頭子，浪跡天涯……”他是不孤獨的，他的朋友遍天下。

　　對于熟悉他的人，他很樂意人家叫他“保羅叔叔”，他曾常常對人說：“我已經是非常老了。

　　”他生于1913年布達佩斯一個中產階層的家庭，父母都是中學數學教師，作為一個獨身子，他很敏感，他在六歲時就顯露出他的與眾不同之處，他能很快的加及乘六位數的大數。他的父母從事教育工作，對于他的才智的發展關注及善于指導，從小他就對自然科學、文學及社會問題關心。

　　他發表了近1000多篇的論文，平均一年要寫和回答1500多封有關于數學問題的信。他可以和任何大學的數學家合作研究，他每到一處演講就能和該處的一兩個數學家合作寫論文，據說多數的情形是人們把一些本身長期解決不了的問題和他討論，他可以很快就給出了問題的解決方法或答案，于是人們趕快把結果寫下來，然后發表的時候放上他的名字，厄多斯的新的一篇論文就這樣誕生了。

　　他是一個富有傳奇色彩的人，人們甚至謠傳（當然這不是真的）：他有一次從一個地方要到另外一個地方的大學演講，他竟然在旅途中和查票的火車查票員合寫了一篇數學論文！

　　每星期有新研究才是數學家

　　厄多斯對數學家的定義是很奇特的：“一個數學家必須是在每個星期有一些新的研究工作才成為數學家。”

　　因此有一次，他在巴黎演講后，有個法國數學家問他關于他們英國的共同朋友某個得爵士頭銜的教授的近況。厄多斯回答：“這可憐的家伙兩年前已死去了。”另外一位法國教授在旁邊聽到，馬上說：“這是不可能的，我上個月還在羅馬見到他。”而厄多斯卻說：“啊！你應該明白我的意思，我是指他這兩年沒有搞出一些新東西出來！”

　　他遇見他的搞數學的同行，就喜歡問：“你昨天有什么新的發現？”而“保羅叔叔”要生出一個新的定理或問題是比母雞生蛋還要快。

　　去年他已是70歲高齡，他還精神抖擻到處演講。聽他演講時還中氣十足，記憶力也不太衰退，身體輕盈活潑，不像一個上了年紀的老人家。

　　他從來沒有一個固定的職位，也從來不定居在一個地方，他也沒有結婚，他的父親去世后，母親就跟著他。他非常孝順照顧她一些生活，難為他的母親與他過著“處處無家處處家”的流浪生活，母親晚年曾短期居住在以色列，90高齡才去世。而他風塵仆仆旅行時，只三兩個小的舊皮箱放他的一點衣服和私人用具，或加上一兩個塑膠袋里面裝了一些他送給朋友或朋友孩子的禮物。

　　他是國際聞名的大數學家，可是生活比愛因斯坦還要簡樸，他沒有什么個人的書籍，到那里就用學校或研究所的圖書。我在法國龐加萊研究所的圖書館就曾見到他進來查閱雜志，他的記憶力好得不必翻目錄，用手一翻就能找到他要的文章，我看了只好佩服得五體投地。

　　主人是妻子，奴隸是丈夫

　　他很愛小孩，他叫小孩子“epsilon”（希臘字母，數學在微積分上通常用來表示一個很小的數，中文可以譯成“小不點兒”）。他對婚姻和配偶有奇怪的看法：一個結合的配偶包含一個“主人”和一個“奴隸”。主人是妻子，奴隸是丈夫。他們結合就意味奴隸被主人逮住了。如果離婚，奴隸就是被解放。如果一個男人還要再結婚，那么他就是要再被逮捕成為奴隸。

　　因此他為了不做“奴隸”，一生不娶，專心搞他喜歡的數學。

　　美國著名數學家S.M.烏朗（Ulam 1909—）在1976年，他的自傳《一個數學家的冒險記》（Adventure of mathematician）曾經這么寫：“數學的天地是大腦創造出來，可以視為不需外界的助力。數學家工作可以不像其他科學家那樣需要儀器。物理學家（甚至理論物理學家），生物學家和化學家都需要實驗室——可是數學家能在沒有粉筆、紙或筆的情況下工作，他可能在走路，吃飯甚至談天時繼續思考。這就或許可以解釋為什么有許多數學家在從事其他工作時表現得內向（inward）及心不在焉，這和其他領域的科學工作者的形象最鮮明的不同。當然，這還要看具體情形。有些人像保羅·厄多斯具有極端的特點。他在清醒的時間里非常大的百分比是放在數學構造和推理思考，把其他的事都擱在一邊。”

　　“……保羅·厄多斯在任何時刻都集中精神和思考，通常是放在已經開始工作或者他以前曾經考慮過的問題。他不把他的記憶像錄音機那樣洗干凈，從新開始……”

　　我和他的結識

　　“……他真的是一個神童，在18歲時就發表他的在數論和組合數學的結果。

　　由于是猶太人，他需離開匈牙利，而這反而救了他的命。在1941年他是27歲，卻不快樂，思鄉，常常擔憂他那留在匈牙利的母親。

　　他來麥迪生（Madison）是我們友誼的開始。由于經濟桔據，除他所說的窮，他常把他訪問的日子延長到不能延為止。在1943年他在普度大學（Purdue  University）取得一個獎學金，這時他不再分文全無。就如他所說的：“還從舉債的日子擺脫。”在這次及其他的訪問，我們互相討論合作——我們的數學討論只有在讀報紙或聽收音機廣播戰爭情況及政治分析時才終斷。在去普度之前，他仍在普林斯敦研究所一年到他的生活津貼被停止為止。

　　大動作、神經質、特異語言

　　他是比中等身裁稍矮，非常神經質，當時他是比現在還要活躍——常常跳上跳下或者拍打（flapping）他的雙臂。他的眼睛常常顯示他是在思考數學，這過程只有在他說出對世界事務、政治或人類悲觀的論調時才中斷。如果有一些有趣的想法從他頭上產生，他就會跳上來，拍他的手掌，然后再坐下。他的專心搞數學及常常思索問題，很像我的一些波蘭朋友。他的怪異的形態是太多了，不可能全寫下來。一個方面（現在仍然保留下來）是他的特異的語言。如用“epsilon”表示孩子，“奴隸”是指丈夫，“主人，”是指妻子，“捕俘”是指“結婚”，“講道”（preach）是 指演講，及其他現在數學界所知道他的獨創名詞。我們共同獲得的數學結果，有許多到今天還沒有發表。

　　厄多斯并不因時間的過去而有太大的改變。他仍舊是專心于數學的數學家。現在已過60歲了，他已有超過700多篇他個人寫的論文。關于他的許多說法，其中之一是：“如果你不認識保羅·厄多斯，你就不是真正的數學家。”還有一個有名的厄多斯數——任何數學家通過和他合作者聯系到厄多斯所要的階數。例如，如果你是列為“厄多斯數2”表示你和一個曾和厄多斯合寫過的人合寫論文。多數的數學家，如果不是屬于厄多斯數1就是厄多斯數2。

　　厄多斯還是繼續用筆寫短信，開頭是：“假定×是這樣，因此有……”或者“假定我有一序列的數……”在信結尾時，他寫了一點他個人的看法，通常是他已經老了（這從他30歲就開始說）或者帶憂郁（hypochondriac）或悲觀地對我們上了年紀的朋友的看法。他的信是迷人的（Charming）及常包含新的數學消息……

　　下棋證明腦筋健全

　　在1945年烏朗腦部動手術之后，準備從醫院回家，厄多斯在走廊見到他，興高采烈的喊道：“史坦（Stan），我高興的看到你還活著。我想你快死了，我要為你的訃告及親自完成我們合作的論文。”當時他手上拿了一個皮箱，沒有其他地方可去，烏朗就邀他來他家里小住。

　　烏朗的同事載他們回家，而在車上厄多斯就開始滔滔不絕地談論一些數學問題，烏朗也發表一些看法。厄多斯就高興的說：“史坦，你還和以前一樣！”這給烏朗心中很大的安慰，他擔心自己的腦動手術后受損害。一到家，厄多斯就建議下國際象棋，烏朗很擔心對象棋的一些規則及棋子的走法忘記了，第一盤棋厄多斯是輸了，厄多斯再建議下第二盤，烏朗想可能厄多斯是要讓他贏使他心里高興，他想到疲倦，但是仍和他再下一盤。厄多斯努力奮戰仍舊輸，他說他感到疲倦不要下了，烏朗才相信厄多斯是很認真及誠懇與他下棋，他才對自己的腦沒有完全損壞而高興。

　　他們常在一起討論數學或到海邊散步。有一次他遇到一個小孩，他說：“看，史坦！多么可愛的小不點兒。”一個非常漂亮的年青婦女坐在附近，肯定是這小孩的母親，烏朗就回答：“可是看那個大寫的epsilon。”這令厄多斯馬上臉紅和難堪。在那時期厄多斯用 SF（Supreme fascist最高至上法西斯分子）來代表上帝，用Joe（斯大林的名）來代表蘇聯，用Sam（山姆）來代表美國。

　　厄多斯從事工作的領域很廣：數論、集合論、組合數學、圖論、概率論及其應用（應用到數論、群論、更一些隨機結構），實變函數論，無窮級數理論、插值論等等。

　　在1973年麻省理工學院的出版社為了他的60歲生日紀念出版了他的選集《計算的藝術》（The art of Counting），讀者可以看到他的各種各類的數學工作。英國名數學家Rado在序上說他是：“流浪者（Wandering Scholar）。他時常橫跨五大洲。他效忠的是“科學之后”而不是任何特別地方或研究所。

　　最早與他合作寫過論文的中國數學家有柯召（1938年），在數論方面。1947年有鐘開萊，在概率論方面，我這里介紹一點他有興趣的問題：

　　厄多斯是匈牙利的國寶

　　美國數學家Mark Kac有一次在演講他的數學研究時，發現厄多斯聽得睡著了。當他對聽眾說他相信他對某個數論問題的猜想是正確的，突然厄多斯驚醒，老頭子說：“請您把剛才的問題重復一下！”Mark Kac再解釋一遍。結果在Mark Kac演講還未結束時，厄多斯已經把整個問題解決了。

　　他雖然是匈牙利的科學院士，可是他可以隨時自由離開自己的國家，他的護照就像外交人員那樣有特權，每次他從外國回來機場就有一大堆的年青或年紀大的數學家去迎接他，他的全部財產就是在那兩個舊皮箱里，看到他的朋友來迎接，他就從塑料袋里找禮物送，然后就詢問這些朋友親屬的近況，或者談坦桑尼亞的情況，或者提他最近和某些人接觸時所知道的有趣數學問題。走到某接待他的汽車時，他問候周圍的人，他有時還會把張三錯當李四。有時他也提起他所認識的外國數學家的情況，而沒有考慮到聽的人并不認識他所說的人。一到家，他就連續打電話給朋友或親戚，行李完全丟在一邊。他是匈牙利的“國寶”，刺激帶動許多人去從事數學研究工作。

　　不想傷害年青數學家的熱情

　　我印象最深刻的是我有一次到布達佩斯拜訪我認識的一位F教授，F教授見到我說：“你知道嗎？厄多斯昨天回來了！”可見厄多斯一回國門，就變成布達佩斯的重要消息。

　　厄多斯知道和解決的東西太多了，有些他來不及寫下來，在40年代時，他和烏朗合作得到一些有關實踐上一些Borel集及平面上一些集合的拓撲學定理，他們一直沒有機會坐下來合寫成文章。

　　其中有一些結果后來被一個印度數學家B.V.Rao重新發 現并且發表。Rao得到這些結果時，把論文寄給厄多斯請他提供意見。厄多斯馬上回信鼓勵他發表這些結果，信中他并沒有說他及烏朗早已得到以上的結果并且證明了。后來有人告訴Rao，他所發現的定理實際上厄多斯及烏朗早已獲得只是沒有發表。Rao寫信給厄多斯，問他為什么不早點講這情況？厄多斯回答：他不想模仿高斯（Gauss）這個“混蛋習慣”——對于年青的數學家潑冷水說：他們自以為發現的新結果，事實上是他早已許多年前得到了。從這點可見厄多斯胸懷寬大及對年青數學工作者的愛  護，不想傷害他們對數學研究的熱情。

　　厄多斯的事跡很多，他的有趣問題也不少，我們為了篇幅限制不能講得太多。讀者如有興趣，可以閱讀《數學和數學家的故事》第一集，講他怎樣發現并栽培一個數學神童的故事。