第九回  術精器利  微積分為變量搭脈

　　        西學東漸  徐光啟與國際接軌

　　利用剛出爐的微積分，被預測的哈雷彗星一次又一次地出現。但微積分究竟是誰先發明？是牛頓，還是萊布尼茨？歐拉雙目失明，還寫出四百多篇論文！中國的梅文鼎家族一共出了五六位數學家。

　　且說笛卡爾、費爾馬兩位豪杰，用思維這把利劍，辟得一塊個全新的數學疆域，真正是盤古開天地一般的功勞。

　　此話怎講？原來所謂初等數學，也就是從盤古一直到16世紀這一段的數學，叫常量數學。

　　咱們在中小學學的，就是常量數學。它主要研究靜止的量的各種運算。這些運算現在看來很簡單，但卻整整折磨了多少哲人的思維，達 4000多年之久！

　　解析幾何的方法一出，變量登上了數學的舞臺唱主角。“兩個未知量決定的一個方程，它對應著一條軌跡——一條直線或曲線”。費爾馬的這番話就表示了變量的思想。

　　你想想，一個方程中有兩個未知量，一個未知量變化了，另一個不也隨著變化？這實際上還是一種函數關系的體現。

　　有人會說，那么不定方程中，未知量的個數大于方程的個數，未知量也固定不下來，也在變化，為什么不說不定方程的出現是變量數學的開始呢？那不定方程，人們的注意力集中在方程的求解，而并不關心未知量是不是在變。

　　解析幾何中，曲線的方程一旦用曲線描繪出來，立即得到一種幾何的直觀。人們從點的運動想到所對應的量的變化，變量的概念形成了。

　　老前輩恩格斯曾這么說：“數學中的轉折點是笛卡爾的變數。有了變數，運動進入了數學；有了變數，辯證法進入了數學；有了變數，微積和積分也就立刻成為必要的了。”

　　坐標系、變量、函數，是數學的一個轉折點，也是變量數學發展的一個決定性步驟。

　　現在，咱們已經清晰地聽到了那位巨人的腳步聲了——牛頓，萊布尼茨。那牛頓、萊布尼茨的大名，現在是無人不知，無人不曉。說他們是巨人當然不錯；如果把他們當成是創建微積分的唯一的兩位，那就不大對了。

　　數學和科學的巨大進展，都是建立在幾百年中做出一點一滴貢獻的許多人的工作之上的。這時就需要一個人來走那最高的最后的一步。

　　這個人要有敏銳的透視，從紛紜繁雜的猜測中揀出有價值的想法；這個人要有足夠的想象力，把零亂的思維碎片搭成系統的大廈；這個人要有獻身的精神，不怕坐冷板凳，眼睛不能天天盯著大款。

　　牛頓，萊布尼茨正是這樣的巨人，他們各自獨立地跑完了“微積分”接力賽的最后一棒。

　　微積分的萌芽，是古已有之了。

　　咱們劉徽老先生的著名“割圓術”，就是把圓近似的割成邊數很多，邊長很短的正多邊形，來計算圓面積。“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓圍合體而無所失矣。”劉徽的的這一套，阿基米德在公元前 240 年左右也做過。阿基米德也“割”過圓。而且，他不但用內接正多邊形去從內往外逼近圓，還用外切正多邊形來近似，從外往內逼。一內一外，把圓周率的真值夾在中間，就能準確估計誤差了。

　　面積體積計算很重要，17世紀的工作開始于開卜勒。這位酒保被酒桶體積的計算問題吸引住了。不過他的工作比較粗糙。比如算圓面積，他把圓看成是無窮多個三角形，每個三角形的頂點都在圓心，底在圓周上，然后像正內接多邊形的面積一樣，用長乘以半徑除以 2，就是圓的面積了。球的體積也是如此。

　　這里面實際上就是現在所說的積分。不管是劉徽、阿基米德，還是開卜勒，都是一樣的思想，但是，每一種曲線的面積計算，都要用不同類型的直邊形去逼近，一題一法、一題一變化，太煩。

　　而 17 世紀的一些人則采用了系統的辦法，都用小矩形。比如計算 y=x2之下，從x=0到x=B的面積：

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　　首先將 OB 分為幾份，構成一個個小矩形，用矩形面積之和逼近待求面積，當這些矩形的寬度d越來越小時，這個面積和就越來越接近曲線下的面積，“割之彌細，所失彌少。”

　　現在再按這些人的說法，認為當n無窮大時，最后的兩項可以忽略，那么這待求的拋物線下的面積就求出來了：

　　同學們能看懂這些，看了之后可能很滿意了：任何曲線形的面積似乎都能這么算。

　　但是仔細考慮一番就會看到有兩個麻煩。麻煩之一是為什么 n 無窮大時，最后兩項能夠略去，沒有理論基礎，沒有證明，只是直觀地覺察到。麻煩之二是從1）式變到2）式，不同的題目要用不同的方法，也是個很不方便的大問題，有時單靠技巧還不一定得出結果。

　　這個困難困擾了17世紀所有的數學家。但是牛頓和萊布尼茨卻找出了一個解決的通道。相比較而言，牛頓似乎想得更清楚一點。簡單來講，牛頓的思路大致是這樣的：

　　經過研究，這種變換果真被牛頓找到了，就是求出當 x 變化時，S 的變化速度。S 隨著 x 的變化而變化，自然有個變化速度問題，那么這個速度如何求呢？

　　這能不能用S除以求出來呢？那當然不行。因為對等速運動時的情況，用距離除以時間這樣常量數學的公式是可以的。現在S隨著x變，不是等速變化的，常量數學就沒戲了。

　　十六、十七世紀，正有大量的變速運動的問題要求解決。牛頓是這么考慮的：如果讓x 的變化很小，比如只增加△x 這么一點點，那么 S 也有一點點增加，就用△S表示。

　　因為△x很小，所以這一小段內，S的變化可以認為是勻速的。這時，變化的速度就可以用△S除以△x來表示：△S△x。

　　如果△x充分的小，那么這速率算得就越精確。當然，這樣算出的速度，每一點都不一樣，是一種瞬間的速度。這個速度也是變，不是常量。

　　這么一種求速度的運算，要用到求極限的方法；讓△x 無窮地小，看看△S△x怎么個變化。

　　大伙看看，微分、積分是不是一種可逆的過程？可逆的變換？實際上也完全可以看成是可逆的運算。

　　當然能。其實，咱們在初等數學里也有這種只對一項進行的運算，比如求相反數，求倒數。當然，現在運算的對像可有了質的變化，不是數，是一個函數！

　　牛頓和萊布尼茨找到了這么一種互逆的關系，就解決了大問題。求面積、求體積時常用的求和方法，現在可以用微分的逆運算來求了！

　　而不是像以前那樣，每求一個面積之和，都要算一個特殊的和式。

　　而微分運算的較好算，所以，我們今算幾類（而不是幾個）函數的微分，反過來，對許多函數的“面積”就立馬可得。

　　這么個互逆的關系就叫牛頓—萊布尼茨公式，是微積分基本公式，微積分的金橋工程。

　　牛頓太偉大了。年下在這里只說，偉大的牛頓在數學中的大貢獻，而且只說了這大貢獻中的一小部分，當然最主要的部分。

　　這位牛頓老先生在中學的教本里只被描繪成一個偉大的物理學家，物理學的祖師爺。如果咱們聽聽偉大的萊布尼茨的說法，也許就更清楚更全面了：“在從世界開始到牛頓生活的年代的全部數學中，牛頓的工作超過一半！”

　　一個構造了近代物理世界的人，同時又干了數學的一半！真神人也！英國詩人波普，用詩這么表達：

　　自然和自然的規律沉浸在一片黑暗之中，上帝說：生出牛頓來，一切都就得明朗。

　　大數學家拉格朗日也說，他是歷史上最有才能的人；也是最幸運的人，因為宇宙體系只能被發現一次。

　　波普簡直把牛頓當成紅太陽了，就他的作用而論，或許還不算過份，不過牛頓對自己的評價卻十分廉虛：“我不知道世間把我看成什么樣的人；但是，對我自己來說，就像一個在海邊玩耍的小孩，有時找到一塊比較平滑的卵石或格外漂亮的貝殼，感到格外高興。在我面前是完全沒有被發現的真理的大海洋。”真所謂：“我之所以比別人看得遠些，那只是由于站在巨人的肩上的緣故。”

　　牛頓老前輩說的都是大實話。如果咱們和他同時代，這么說很可能被認為是狂妄。可是今天看看，那愛因斯坦的大發現，不就包括了牛頓的物理世界，而且有更高發展嗎？

　　至于站在巨人肩上，那更是千真萬確了。要是沒有從希臘到意大利，從公元前到公元后的無數大師構成一道天梯，他牛頓恐怕是摸天無門了。

　　在牛頓受影響較大的那些人們中，最顯眼的就是他的老師伊薩克·巴羅（1630—1677）。巴羅小時候討人厭，不過從劍橋畢業后，就成為大學問家啦。數學、物理、天文學都很高成就。許多微積分的知識，比如求兩上函數的積和商的微分法則，x的冪函數的微分，以及至關重要的微積分基本定理，他都寫在著作里。當然他的有些東西說的含糊，沒有像牛頓后來所概括的那樣，清楚而又普遍。

　　他是擔任劍橋的盧卡斯講座教授的第一人，1669 年，巴羅先生自動讓賢，以高尚的精神把這一席位讓給他的學生伊薩克·牛頓。他是最先識出牛頓的超人才能的人之一。

　　不過小時候的牛頓可是不太怎樣，既不是神童，也沒進重點學校上學，除了在機械方面有興趣外，其他好像沒有什么特殊的才能。他在1642年的圣誕節那天出生在英格蘭的一個小村莊里，父親是農民。他進入大學學習，但那份幾何答卷是有缺陷的。1661年開始在劍大學之一學院上學，倒也安靜專心。剛結束大學課程，可怕的鼠疫就在倫敦地區蔓延，他離開劍橋，在家鄉渡過了1665年和1666兩年。

　　在這兩年里，他得到了解決微積分問題的一般方法，做了他的第一個光學實驗：白光是由各種顏色的光混合而成的。那舉世聞名的萬有引力定律，雖然早有人提出過，但在牛頓手里，被構造成一座雄偉力學大廈的基礎。

　　牛頓1667年回到劍橋，他的老師巴羅讓賢，牛頓遂擔任了盧卡斯講座數學教授。不過聽他課的學生很少牛頓看來不是個好教師。牛頓在1672年發表了他的光的顏色的論文，不料遭到猛烈的攻擊，過了三年，他的另一篇論文又一次落到同樣下場，牛老先生想想挺寒心，覺得很無聊，發誓生前再也不發表論文。

　　他對這些無聊的爭論很厭惡，所以才有這么種極端的反應。不過后來他的好朋友們再三勸說，不發表可是人類的一大損失啊！他這才發表了一些。怕事還是有事。他的微積分方面的思想發表推遲，結果又引起他和革命尼茨大師在這方面優先權的大爭論。不但這兩個人爭論，而且雙方的朋友都參加了爭吵；不但雙方的朋友參加進來，而且英國和歐洲大陸的數學家分成了兩派。

　　不但分成了兩派，而且英國和歐洲大陸的數學家停止了思想學術交流。因為牛頓的微積分主要使用了幾何方法，所以在他死后差不多100年中，英國人繼續以幾何為主要工具。而西歐的數學家繼續發展萊布尼茨的那一套，并且改善進步了。

　　這事鬧得實在太不咋樣，影響太大，壞影響！它不僅使英國的數學家落在后面，而且使數學家損失了一批最有才能的人，他們應該可以作出的貢獻。兩位大師的晚年心境都不很愉快，到死都沒弄清楚，留下一塊病在心上。

　　說起來實在是一場天大的誤會。牛頓被以前的事弄怕了，很厭煩發表自己的成果。不過他也很想讓好友們知道他在干什么。所以在 1665 年到 1687年間，把微積分方面的一些發現通知了他的朋友。特別在1669年，他把《分析學》這篇論文送給恩師巴羅過目，而巴羅還給其他人看了。

　　而萊布尼茨于 1672 年到過巴黎，1673 年更訪問了倫敦，并和一些知道牛頓工作的人通信，然而，萊布尼茨直到1684年才在《學藝》雜志上發表微積分文章，太有“瓜田李下”之嫌了。英國的紳士們把他描繪成剽竊者也算事出有因。

　　其實，那萊布尼茨先生也不喜歡發表文章。后來，人們在他成百頁的筆記本中才發現，萊布尼茨1675年就獨立地得到他的微分法。

　　雖然牛頓的工作做在前，在 1665年得到了大部分成果，但發表更后，直到1687年才公開發表在他的巨著《原理》中。

　　說起來，連這本《原理》都是他的朋友哈雷的力勸才出版的。1684年哈雷再三敦促勸說，經過兩年的艱苦勞動，1687年哈雷協助牛頓編輯，還自掏腰包付印出版。

　　這本書給牛頓帶來巨大的聲望，但它很難懂。他告訴朋友說，他有意使它難懂，“免得遭到數學知識淺薄的人的抑制”。牛頓先生確實是一想到爭論頭就脹，挺害怕。就說這本《自然哲學的基本原理》，寫到第三冊，指責又來了，這次是虎克。氣得牛先生封了筆，哈雷又得好說歹說勸解一番，這才有了結果。這本影響巨大的書發表后兩年，牛頓進入議會。再過十年，1699年，被提升為造幣廠廠長。1703年被選為皇家學會主席，連連被選一直到死，搞了點小小的終身制。又過了兩年，被皇家封為爵士。總算在生前得到了莫大的榮譽，成了英國的國粹，國寶。

　　1727 年這位一代偉人去世，終年 84 歲，按照現在的規矩，下聯合國旗向他致哀都應該。

　　卻說英吉利海峽另一側的萊布尼茨（1646—1716），咱們早已“見過面”。比起牛頓來，萊布尼茨聰慧而早熟，從小就是神童。他于1646年出生于德國萊比錫城。從兒童時起，就自學拉丁文，希臘文，不到二十歲，就熟練掌握了教科書的數學、哲學、神學和法學知識。

　　15歲進萊比錫大學，研究法律，可在答辯了關于邏輯的論文之后，得到的卻是哲學學士學位。那萊比錫大學又以他年青，胡子短為借口，不授給他博士學位。萊布尼茨立刻遷到紐倫堡，寫了一篇法學方面的杰出論文，獻給美因茨的選帝候。選帝侯大加贊賞，命其重修法典，然后又派他做外交使節，到巴黎，到倫敦。

　　這倒挺有點像李太白，“十五好劍術，遍干諸侯，三十成文章，歷抵卿相”，頗有些入世用世達則兼濟天下的氣慨。

　　1672年3月先生出使巴黎，遇到不少數學家，科學家，尤其是大物理學家，數學家惠更斯，更是親自給他講解數學，激起了他對數學的濃厚興趣。

　　雖然他20歲時就發表過數學論文，但他說自己直到1672年還基本上不懂數學。這自然是他的自謙之詞，但是也可以看出受高人指點后的確不一樣，對數學的理解更加深刻了。

　　1673年他又出使倫敦，遇到另外一批杰出的人才，切磋磨砥，大有收益，那數學的興趣更濃了。他研究了笛卡爾，研究了帕斯卡那吸收進去的原料經過天才腦瓜的聚合反應更以理倍的能量負外散發。

　　后來，萊布尼茨到漢諾威工作，當了另一位選帝侯的圖書館館長，空閑的時間當然就多了。學者的天才得以盡情發揮，莫不是“日試萬言，倚馬可待”，寫在成各種學科的論文盈千累萬，也算是著作等身了。

　　他涉獵的范圍太廣泛了，盡管卷入了各種政治活動，包括為他的東家活動英國王位，但他并沒放棄科學興趣，他研究了邏輯學、力學、光學、數學、氣體學、航海學，加上當今寵兒計算機。如果要說“家”的話，那么他毫不含糊地就是哲學家、法學家、歷史學家、語法言學家，邏輯學家，大數學家。

　　草草一算，照現今來說，可算得上七棲八棲明星，數一數二“大腕”。看看咱們的萊“大腕”，再想想當今一些人物，拍了幾部影視片再在歌壇上“炒”它一曲，居然就稱什么兩棲三棲，倒也覺得挺滑稽。不過也許那些“腕們”自己幽自己的默，外帶著涂個三花臉逗咱們一笑也未可知。

　　萊布尼茨與牛頓各自獨立地跑完微積分的最后一棒，但他的微積分卻與牛頓的微積分有明顯的不同。牛頓是用幾何的語言敘述他的成果，而萊布尼茨的理論則用代數的妙語來表達。

　　萊布尼茨是歷史上最大符號學家之一。他所創立的微積分符號遠遠優于牛頓的符號，優于牛頓的幾何方法，這對微積分的傳播和發展有極大的影響。

　　英國的數學界落后了歐洲100年，原因也正在此。

　　他所引入的許多的微積分符號現在通行世界。比如，對一個函數求微分，也就是求函數對x變化率，他引進的微分符號就是“d”。對函數求積分，萊布尼茨引入的積分號是“∫”，是個伸長的 S，也就是和“sum”的第一個字母。積分就是以求面積之和引入的。

　　為何如此？道理很簡單，先對f（x）“積”，積過之后再“微”，積分和微分互逆，自然就回到了原地，微積分基本定量嘛！就好像任一個數加上4后再減去4，結果還是原來的數，加減互逆！

　　用一個式子表示這個基本定理，就是：

　　清清楚楚，明明白白，微積分之間的基本關系一目了然，微分積分是互逆運算。

　　而牛頓對這個基本定理的表達就全用幾何的方式，難以理解，現在是早已不用了。

　　雖然兩位大師因為優先權問題弄得很不愉快，但兩人都受到巴羅先生，這位牛頓的老師的很多啟發，這就叫“本是同根生了”。

　　萊布尼茨的另一件大功勞就是對數理邏輯的天才預見和開辟。

　　咱們說過，笛卡爾早就認為，邏輯上的原量和方法也能符號化。因為那時候代數的各種符號剛剛顯出它的神力，解方程立方程就可以把以前難想的問題機械化地解決了。還有那：

　　微積分對于現代科學技術，那是須臾離不開的寶貝。就是在剛剛形成那會，也立刻有了意想不到的應用。

　　話說1758年12月，歐洲各地千萬個腦袋都時時望天上看。這是因為去世已16年的哈雷教授（1656——1742）生前曾預言，這年年底將出現彗星。人們焦慮地期待著，總覺得一個人能推測生后之事，做出那么準確的預告似乎有點玄。誰知到12月底，拖著長長尾巴的彗星果真出現了！彗量，這對天外來客如期而至，立刻轟動全球。

　　這顆慧星就被命名為“哈雷彗星”。哈雷生前是牛頓的好友，他對牛大師推崇備至。利用剛剛出爐的微積分，他對彗星軌道進行研究推算，大膽推測1531年、1607年、1682年三次出現的彗量實際上是同一顆！

　　再用好朋友創造的方法和定律一推算，這顆彗星繞太陽的周期是76年，因此1758年將回到地球附近。哈雷給它號的脈一次又一次應驗了，1834年、1910年，1986年，哈雷彗星一次又一次出現。

　　利用微積分這個工具，擺鐘的運動和周期能夠精確計算。牛頓還根據擺鐘周期與重力的關系，考察了地球各地的擺鐘運動，是出了地球是扁圓的結論！

　　微積分在繼續擴展自己的領地。數學家們暫時忘掉了嚴密性，不管它對不對，邏輯上能不能嚴格證明，只要是直觀上覺得對，又能解決問題，那就大膽地往前走。

　　本來，數學處處講嚴密，要證明，這是歐幾里德給數學的大貢獻。可是把思維束縛在嚴密的網里，就沒有創造性的發現。17、18 世紀的數學家們，就在微積分的基礎還很不穩固，有很多東西不能自圓其說的情況下，開始把這所大廈往大里蓋，往高里碼。

　　這其間最有名的就是伯努利家族。

　　咱們學過數理科學的人，對“伯努利”三個字是如雷貫耳，經常遇到。概率論里的“伯努利定理”，“伯努利分布”，還有什么“伯努利多項式”，“伯努利雙紐線”，以及流體力學中的“伯努利議程”，如此等等。

　　不過這些東西不都是一個人的，有好多個伯努利的功勞。伯努利家放是數學史上最著名的家族，也算是歷史奇觀吧。

　　這個家族的光榮首先從兩弟兄開始，老大叫雅科布·伯努利（1654—1705），老二叫約翰·伯努利（1667—1748）。

　　這兩位都是萊布尼茨的鐵桿，在那場優先權的大爭論中沖鋒陷陣，當然那都是無用功了。但是他們是最早認識到微積分的驚人力量，并把這個偉大的工具應用于各類問題的科學家。

　　最著名的，要算最速降線問題。

　　這問題說起來挺簡單，就是從A到B造一條滑道，使得物體最快下滑。按一般的想法，這滑梯就是A、B間的直線，兩點間距離最短是直線嘛！可是大名鼎鼎的伽利略覺得沒那么簡單，他認為這最速降線是一條過 A、B的圓弧。現在咱們仔細想想怕是也能想通：雖然弧線比直線長些，但它最初的下降速度快，所以總時間必然少了。

　　不過那位老二約翰認為，伽利略雖然指出了方向，但沒有講清為什么。所以他在1696年呼吁大家來解決這個問題，比試比試看誰解決得好。經過兩兄弟的努力，還有牛頓、萊布尼茨等人的工作，終于弄清楚了，這兩點間的最速降線，既非直線也非圓弧，而是一段圓擺線！

　　圓擺線大伙沒聽說過，可是卻天天見到。你在自行車車輪上做個記號，車輪沿著直線往前滾，那畫出的記號在空中跑過的軌跡就叫擺線，又叫旋輪線。

　　隔了一年，老二的約翰又解決了一個短程線問題，不過只是部分解決。短程線說起來大家又覺得好理解：平面上的兩點，距離最短的是過這兩點的線段。

　　可是要是在球面上呢？地球上兩點間的最短線就不是直線了，球面上沒有的線，那是過這兩點的球的大圓！問題再擴展，任一個曲面上這短程線又當如何？可就是個高精尖課題啦。

　　類似的還有老大雅科布提出過的等周問題，這些都是一類求極值的問題：最快、最短、最大，這些都是后來發展起來的一門學科——變分學的先聲，微積分的發展。

　　比起大哥來，約翰在數學上貢獻更多，但是脾氣很不好。約翰腦子快一點，有些恃才傲物，功名心切。弟兄倆很快在許多問題上互相挑戰。他們各自發表文章，鬧得最后就不和諧了。萊布尼茨就在兩邊調停，當當和事佬。

　　可是老大雅科布總覺得萊某偏袒約翰，而且自己發現的東西，萊布尼茨聲稱早就做過了。所以盡管一開始對萊先生很尊重，以師禮待之，到最后牛萊風波再起，他寫信給對方，對萊老頭可就不恭敬啦。約翰則是鐵心衛道，時不時上陣對英國紳士們叫叫陣，唇槍舌劍來一頓。
　　雅科布大哥的最大貢獻是他的名著《推測術》，也就是現在常說的概率論。

　　概率這門數學從卡當那會兒討論賭博開始，到這時，已經變成了一門完整的科學，概率論誕生了。

　　概率論研究的是大量的偶然現象。投擲一枚硬幣，出現正面的可能是多大？大家都能猜出是 1/2。投擲的次數越多，出現正面的次數和投擲總次數的比就越接近1/2。歷史上好多名人都做過這個試驗。

　　雅科布總結了這方面的經驗，得出一條定理，就叫做“大數定理”，也就是“伯努利定理”。關鍵在于，他不但提出，還給出了證明，這才是難點所在。

　　這兩位自學成才的弟兄，不但做出了如此巨大的成就，而且培養出下一代伯努利。老二的三個兒子個個都是將門虎子，承繼父業。老二的老二丹尼爾·伯努利更是了得，著名的伯努利分布、流體力學中的伯努力利議程就是此人所為。由于這些杰出的成就，他曾十次獲得法蘭西科學院的嘉獎。

　　概略地算一下，這個瑞士的家族，總共產生了11位數學家。列入吉尼斯當之無愧。

　　不過，這個家族最光榮的一件事，要算是培養出歐拉這么一位頂級的人物。歐拉的恩師就是約翰·伯努利，無怪乎人們說，他是那個時代最成功的教師。
　　歐拉（1707－1783），是 18世紀數學界的中心人物，堪與阿基米德、牛頓和高斯為伍，因為他們不但是數學家，也都是大物理學家，典型的數、理雙棲大師級人才。
　　歐拉誕生于瑞士名誠巴塞爾，13歲就進入巴塞爾大學，師從約翰·伯努利。17 歲成為這所大學有史以來最年輕的碩士。18 歲發表論文，19 歲獲法蘭西科學院獎金。

　　通過約翰老師的兩個兒子：尼古勞斯·伯努利（1695—1726）和丹尼爾尼爾·伯努利，歐拉在1733年獲得俄國圣彼得堡科學院的任命。起先他是丹尼爾（1700—1728）的助手，后來很快接替這位伯努利當了教授。

　　26歲的歐拉做了數量驚人的研究工作，可是由于太忙，條件也不好，28歲右眼就失明了。34 歲時應普魯士皇上的邀請，到柏林主持普魯士研究院，一干就是25年。

　　1766年，俄國女皇葉卡捷琳娜二世親自出面懇請歐拉重返彼得堡。他的工作條件大大改善了，但積勞成疾，左眼也失了明。接著又遭火災，大部分藏書和手稿化為灰燼。但歐拉沒有屈服，他說：“如果命運是塊頑石，我就化作大鐘，將它砸得粉碎！”大火過后，歐拉已是位 66 歲的老人啦，可是他并沒有停止思想停止工作，又與衰老和黑暗拼搏了17年！憑口授發表了400多篇論文，許多部論著，占他一生成果的一半！

　　歐拉確實是一位多產的數學家，堪稱空前絕后，他同以前的笛卡爾、牛頓、以及以后的高斯不同，他沒有開辟新的數學分支，但沒有一個人像他那樣多產，像他那樣巧妙地把握數學，他對數學的每一個分支都有貢獻。

　　他是頂呱呱的方法發明家，又是一位熟練的巨匠。所以如果咱們學數學時一再聽到歐拉，大可不必驚奇：歐拉公式、歐拉多項式、歐拉定理、歐拉常數、歐拉積分和歐拉線，等等。

　　請看如下最著名的公式：

　　其實道理也挺簡單，是歐拉大師發現的。如那“田”字“串”字，可以變換成下列圖形。那么一來那幾個連結弧線的點便是問題的關鍵。我們可以看到，點1有三條弧線交匯于此，將這樣的點稱為奇點。點1到點4都是奇點。而像點5到點8，就都是偶點了。

　　歐拉注意到，如果要畫一個筆畫，不是起筆點和落筆點，那么它若有一條弧線進點，就必有另一條弧線出筆，即不是起筆或落筆，必是偶點！

　　這樣一來，能夠一筆畫的就只能有零個或兩個奇點！一筆畫問題就此解決！請看，歐拉的思路多明確，多清楚！這是29歲時的歐拉向圣彼得堡科學院遞交的一篇論文《哥尼斯堡的七座橋》所證明的結果。

　　原來這一筆畫就起始于哥城的七座橋。這座名城共有七座橋連接了四外區域，很早以來城中的居民就熱衷于這么個有趣的問題，能不能“一筆畫”走過這七座橋。咱們把圖畫在這里，這些弧線自然就是橋了，大伙不妨用歐拉的辦法判斷一下，有沒有解。

　　這一筆畫到后來有了發展。中國數學家管梅谷在1960年提出過一個郵遞員問題，是說郵遞員投遞郵件，從郵局出發，對管區內的每條街（弧線）都至少通過一次，再回到郵局。當然有時沒法“一筆畫”了，有的街道要經過兩次以上。不過最后有一個要求：要選擇一條最短的路。管先生給出了算法，所以這問題國際上就稱“中國郵遞員的問題”。

　　西歐的數學波瀾迭起，高潮頻頻，那咱們中國當時的情況又如何呢？讓咱們把鏡頭再緩緩移回東方。

　　且說咱中國的古代數學，自殷商而至宋元，一路領先，成就卓著。直至秦、李、楊、朱四大家，并起于宋元交替之際，創“天元術”，“四元術”，東方巨龍騰飛環宇。

　　到得明代，創造性的工作，尤其是在理論方面幾乎是沒有了，中國數學走入了低潮。大量的數學經典因為無人研究，找都找不到啦！天元術，四元術更是無人知曉，幾乎成了絕學。像《九章》這樣的名著都不再流傳，只有《永樂大曲》才收有抄本。

　　就連有點名氣的數學家吳敬，也都是聽說過有《九章》，恐怕都沒有直接看過，他算得上是個實用數學的推廣者，介紹了一種“寫算”的乘法，就是咱們前面說過“格子算法”，程大位（1533—1615）把它叫做“鋪地錦”的。

　　程大位是位平民，以畢生精力進行實用自然術研究，使珠算得以普及，也實在是難能可貴了。可是這時的西域，數學正發展得紅紅火火，面臨著革命的前夜呢。

　　時光很快到了明朝末年。政治腐敗，連年災荒，農民起義，倭寇襲擾，弄得皇帝老兒坐不成龍庭，明王朝處于覆滅的前夜。

　　文化方面，尤其是科學技術一片凋零。就是對歷法，這個關系國計民生的大事，也是嚴禁民間研究，“習歷者遣戍，造歷者殊死”。明朝用的《大統歷》，日積月累用下來已有較大誤差了，可是這歷法依然改不得。而且精通歷法的人才也缺乏，改歷想改也難。

　　就在這時，耶穌會傳教士來到中國，傳入了西洋的天文歷法，也傳來了西方的數學，從此，西方數學開始傳入了中國。

　　這傳教士中影響最大的是意大利人利瑪竇（1552—1610）。1582年他來到中國，帶來了世界地圖，自鳴鐘、天文儀器和數學書籍。結識了不少士大夫知識階層人士，其中就有徐光啟。

　　徐光啟是1600年認識利先生的，便和他一塊研究兩方科學。過了六年，就由利瑪竇“口譯”，徐光啟“筆受”，兩人合作翻譯了《幾何原本》。翻到第六卷，徐光啟要求繼續翻，利瑪竇認為這歐氏幾何的精要都在前六卷，就先出版，看看大家喜歡不喜歡吧。這樣，第二年就出版了。

　　在那科技衰落、知識饑餓、中國古算一片荒廢之時，這本書確實給中國數學界帶來生機，中國數學，從此進入了西學東漸的時期。

　　徐光啟（1562—1633）中過講士，當過禮部尚書，位至文淵閣大學士。后來他在一些西洋人的參加下，用西洋新法修訂了新的歷法——《崇禎歷書》，不過崇禎帝不久就到煤山上吊了，用不上了。徐光啟也早在這之前去世了。

　　這時已是 17 世紀，中國被滿洲人坐天下了，但這歷法又提到了皇上面前。后來，《崇禎歷書》明朝沒趕上用，清朝入關后倒用上了。清政府任命參加過明朝改歷的德國人湯若望掌管欽天監，湯先生想想不如把《崇禎歷書》換個名獻上去得了。順治二年（1645年），就把這本歷書稱作《時憲歷》頒行天下。到了順治十四年（1657），一直到康熙三年（1664），有人幾次上書，竭力反對西洋歷法，聲稱“寧可中夏無好歷法，不可中夏有西洋人”。那時康熙帝才十來歲，做不得主，就由著他們廢了西洋歷，將湯若望打入大牢，還殺了五個中國人的頭。

　　后來很快發現是件冤案，為湯若望等平了反。康熙大帝更覺得教訓很深，用人頭交了學費，太有點慘痛了，決定自己親自學習，把一幫西洋人再請入宮，給他講述西洋的天文、數學。另一方面廣泛招賢，訪求人才，鼓勵倡導教學天算圖書的編寫。皇上總算給科學技術添了把草料。

　　正是在這樣的條件，大數學家梅文鼎（1633—1721）出現了。梅文鼎是安徽宣城人，從小就熱愛數學、天文學。在當時許多古算書，古算法都瀕臨失傳的情況下，一方面苦心鉆研，另一方面吸取剛傳入的西方數學片斷知識，“集古今之大成，溶中西于一爐”，做出了許多優秀成果。

　　他被梁啟超稱為算學天文方面清代的“天山之祖，”清代六大儒之一。日本的一位先生更把梅文鼎、牛頓、關教和（一位日本數學家）并稱為 17、18世紀世界上三大數學家。不過，梅先生縱然在中國當時數第一，到世界上去比，自然不能和牛頓并肩，整體水平低下是不會有大家出現的。日本先生的好意咱們心領了。

　　梅文鼎著作甚豐，共有88種200余卷。他將西方傳入的筆算由橫式改為豎式，經符合中國當時直書的習慣。對耐普爾算尺，他也進行了改造，能進行采、除、開方，后來寫成《籌算》一本。不過他主要在正多面體和球面三角方面，有不少創見。

　　梅先生的豐富常識受到康熙帝的嘗識，皇上親自召見，恩寵有加，以后又征召他的孫子梅■進入內廷蒙養齋任編修。這使梅氏祖孫的知名度大大提高，使他們的學說思想和著作廣為流傳，遂成一派學說，其影響達康、乾以下200余年，直到清末。經皇上親自包裝，效果確實不同。

　　有趣的是，梅氏家族也是我國少見的數學家族，除梅文鼎祖孫二人外，還有梅文鼐等其他四、五位數學家。與伯努利家族東西輝映，可稱為奇觀。不過從雍正帝登上龍廷，西方的洋鬼子又被趕出國門，西洋教學的傳入又被皇上叫了個暫停。咱中國這批數學家一頭的興趣沒了個去處，只得撥轉馬頭再向中國古算，整理發掘出散失已久的中國古算名著。古代傳統數學來了段“回光返照”。

　　要說這古算書的發掘整理，那要談到乾隆爺編的《四庫全書》了。巨型叢書《四庫全書》修了十年才完成，共收書3503種，79337卷，分經史子集四部，故名“四庫”耳。通過這部叢書的編修，許多古典算書得以保存下來，對中國傳統數學的發掘研究起了推動作用。

　　在《四庫》編纂中對傳統數學的搜集整理起主要作用有的戴震、李潢等許多人。

　　戴震（1724—1777）系安徽休寧人，對數學、天文、史地、音韻有深刻研究，中過舉。后被推薦為四庫館纂修官。戴震傾注了大量的精力，對《周髀》、《九章》、《孫子算經》等四部書詳加校勘，改了很多錯誤文字，對《九章》中早已散佚的很多圖形予以補繪。

　　那位李潢（？－1811），雖然當過工部左侍郎，也就是副部長一級的位置，但還是個學問家，尤精算學。編纂《四庫全書》時，他以翰林院編修的資格擔任總目協纂官，對《九章》、《海島算經》、《緝古算經》三部書進行了校注和研究。這些校注工作都是挺費神的。因為這些古書輾轉傳抄，文字多一些少一些，讀不通的地方很多。就拿戴震整理過的《九章》來說，不通的地方還有不少。李潢再次校訂，多方研究，使這些不通之處都能文從字順，容易讀懂了。

　　還有一些《四庫全書》中沒有收集的，其他一些學者又進行了整理搜集刻印。經過這樣多方面的努力，埋沒湮滅數百年之久的科學遺產重見天日，這是一個很大的成就。

　　不過當時的中國數學界也是沒了辦法才把全部精力投入到這檔子事吧。

　　皇帝老兒對西洋數學叫暫停，一停就是100多年，可那正是人家“火”起來的100多年呢！

　　欲知后事如何，且聽下回分解。