我們在三年級已經學習了能被2，3，5整除的數的特征，這一講我們將討論整除的性質，并講解能被4，8，9整除的數的特征。

　　數的整除具有如下性質：

　　性質1 如果甲數能被乙數整除，乙數能被丙數整除，那么甲數一定能被丙數整除。例如，48能被16整除，16能被8整除，那么48一定能被8整除。

　　性質2 如果兩個數都能被一個自然數整除，那么這兩個數的和與差也一定能被這個自然數整除。例如，21與15都能被3整除，那么21＋15及21-15都能被3整除。

　　性質3 如果一個數能分別被兩個互質的自然數整除，那么這個數一定能被這兩個互質的自然數的乘積整除。例如，126能被9整除，又能被7整除，且9與7互質，那么126能被9×7＝63整除。

　　利用上面關于整除的性質，我們可以解決許多與整除有關的問題。為了進一步學習數的整除性，我們把學過的和將要學習的一些整除的數字特征列出來：

　�。�1）一個數的個位數字如果是0，2，4，6，8中的一個，那么這個數就能被2整除。

　�。�2）一個數的個位數字如果是0或5，那么這個數就能被5整除。

　�。�3）一個數各個數位上的數字之和如果能被3整除，那么這個數就能被3整除。

　�。�4）一個數的末兩位數如果能被4（或25）整除，那么這個數就能被4（或25）整除。

　�。�5）一個數的末三位數如果能被8（或125）整除，那么這個數就能被8（或125）整除。

　�。�6）一個數各個數位上的數字之和如果能被9整除，那么這個數就能被9整除。

　　其中（1）（2）（3）是三年級學過的內容，（4）（5）（6）是本講要學習的內容。

　　因為100能被4（或25）整除，所以由整除的性質1知，整百的數都能被 4（或25）整除。因為任何自然數都能分成一個整百的數與這個數的后兩位數之和，所以由整除的性質2知，只要這個數的后兩位數能被4（或25）整除，這個數就能被4（或25）整除。這就證明了（4）。

　　類似地可以證明（5）。

　�。�6）的正確性，我們用一個具體的數來說明一般性的證明方法。

　　837＝800＋30＋7

　�。�8×100＋3×10＋7

　�。�8×（99＋1）＋3×（9＋1）＋7

　�。�8×99＋8＋3×9＋3＋7

　�。剑�8×99＋3×9）＋（8＋3＋7）。

　　因為99和9都能被9整除，所以根據整除的性質1和性質2知，（8x99＋3x9）能被9整除。再根據整除的性質2，由（8＋3＋7）能被9整除，就能判斷837能被9整除。

　　利用（4）（5）（6）還可以求出一個數除以4，8，9的余數：

　　（4‘）一個數除以4的余數，與它的末兩位除以4的余數相同。

　�。�5‘）一個數除以8的余數，與它的末三位除以8的余數相同。

　　（6’）一個數除以9的余數，與它的各位數字之和除以9的余數相同。

　　例1 在下面的數中，哪些能被4整除？哪些能被8整除？哪些能被9整除？

　　234，789，7756，8865，3728，8064。

　　解：能被4整除的數有7756，3728，8064；

　　能被8整除的數有3728，8064；

　　能被9整除的數有234，8865，8064。

　　例2 在四位數56□2中，被蓋住的十位數分別等于幾時，這個四位數分別能被9，8，4整除？

　　解：如果56□2能被9整除，那么

　　5＋6＋□＋2＝13＋□

　　應能被9整除，所以當十位數是5，即四位數是5652時能被9整除；

　　如果56□2能被8整除，那么6□2應能被8整除，所以當十位數是3或7，即四位數是5632或5672時能被8整除；

　　如果56□2能被4整除，那么□2應能被4整除，所以當十位數是1，3，5，7，9，即四位數是5612，5632，5652，5672，5692時能被4整除。

　　到現在為止，我們已經學過能被2，3，5，4，8，9整除的數的特征。根據整除的性質3，我們可以把判斷整除的范圍進一步擴大。例如，判斷一個數能否被6整除，因為6＝2×3，2與3互質，所以如果這個數既能被2整除又能被3整除，那么根據整除的性質3，可判定這個數能被6整除。同理，判斷一個數能否被12整除，只需判斷這個數能否同時被3和4整除；判斷一個數能否被72整除，只需判斷這個數能否同時被8和9整除；如此等等。

　　例3 從0，2，5，7四個數字中任選三個，組成能同時被2，5，3整除的數，并將這些數從小到大進行排列。

　　解：因為組成的三位數能同時被2，5整除，所以個位數字為0。根據三位數能被3整除的特征，數字和2＋7＋0與5＋7＋0都能被3整除，因此所求的這些數為270，570，720，750。