德國著名數學家高斯幼年時代聰明過人，上學時，有一天老師出了一道題讓同學們計算：

　　1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？

　　老師出完題后，全班同學都在埋頭計算，小高斯卻很快算出答案等于5050。高斯為什么算得又快又準呢？原來小高斯通過細心觀察發現：

　　1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。

　　1～100正好可以分成這樣的50對數，每對數的和都相等。于是，小高斯把這道題巧算為

　　（1+100）×100÷2＝5050。

　　小高斯使用的這種求和方法，真是聰明極了，簡單快捷，并且廣泛地適用于“等差數列”的求和問題。

　　若干個數排成一列稱為數列，數列中的每一個數稱為一項，其中第一項稱為首項，最后一項稱為末項。后項與前項之差都相等的數列稱為等差數列，后項與前項之差稱為公差。例如：

　　（1）1，2，3，4，5，…，100；

　　（2）1，3，5，7，9，…，99；

　　（3）8，15，22，29，36，…，71。

　　其中（1）是首項為1，末項為100，公差為1的等差數列；（2）是首項為1，末項為99，公差為2的等差數列；（3）是首項為8，末項為71，公差為7的等差數列。

　　由高斯的巧算方法，得到等差數列的求和公式：

　　和=（首項+末項）×項數÷2。

　　例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？

　　分析與解：這串加數1，2，3，…，1999是等差數列，首項是1，末項是1999，共有1999個數。由等差數列求和公式可得

　　原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。

　　注意：利用等差數列求和公式之前，一定要判斷題目中的各個加數是否構成等差數列。

　　例2 11＋12＋13＋…＋31＝？

　　分析與解：這串加數11，12，13，…，31是等差數列，首項是11，末項是31，共有31-11＋1＝21（項）。

　　原式=（11+31）×21÷2=441。

　　在利用等差數列求和公式時，有時項數并不是一目了然的，這時就需要先求出項數。根據首項、末項、公差的關系，可以得到

　　項數=（末項-首項）÷公差+1，

　　末項=首項+公差×（項數-1）。

　　例3 3＋7＋11＋…＋99＝？

　　分析與解：3，7，11，…，99是公差為4的等差數列，

　　項數=（99－3）÷4＋1＝25，

　　原式=（3＋99）×25÷2＝1275。

　　例4 求首項是25，公差是3的等差數列的前40項的和。

　　解：末項=25＋3×（40-1）＝142，

　　和=（25＋142）×40÷2＝3340。

　　利用等差數列求和公式及求項數和末項的公式，可以解決各種與等差數列求和有關的問題。

　　例5 在下圖中，每個最小的等邊三角形的面積是12厘米2，邊長是1根火柴棍。問：（1）最大三角形的面積是多少平方厘米？（2）整個圖形由多少根火柴棍擺成？

　　分析：最大三角形共有8層，從上往下擺時，每層的小三角形數目及所用火柴數目如下表：

　　由上表看出，各層的小三角形數成等差數列，各層的火柴數也成等差數列。

　　解：（1）最大三角形面積為

　　（1＋3＋5＋…＋15）×12

　　＝［（1＋15）×8÷2］×12

　　＝768（厘米2）。

　　（2）火柴棍的數目為

　　3＋6＋9+…+24

　　＝（3＋24）×8÷2=108（根）。

　　答：最大三角形的面積是768厘米2，整個圖形由108根火柴擺成。

　　例6 盒子里放有三只乒乓球，一位魔術師第一次從盒子里拿出一只球，將它變成3只球后放回盒子里；第二次又從盒子里拿出二只球，將每只球各變成3只球后放回盒子里……第十次從盒子里拿出十只球，將每只球各變成3只球后放回到盒子里。這時盒子里共有多少只乒乓球？

　　分析與解：一只球變成3只球，實際上多了2只球。第一次多了2只球，第二次多了2×2只球……第十次多了2×10只球。因此拿了十次后，多了

　　2×1＋2×2＋…＋2×10

　　＝2×（1＋2＋…＋10）

　　＝2×55＝110（只）。

　　加上原有的3只球，盒子里共有球110＋3＝113（只）。

　　綜合列式為：

　　（3-1）×（1＋2＋…＋10）＋3

　　＝2×［（1＋10）×10÷2］＋3＝113（只）。

　　練習3

　　1.計算下列各題：

　　（1）2＋4＋6＋…＋200；

　　（2）17＋19＋21＋…＋39；

　　（3）5＋8＋11＋14＋…＋50；

　　（4）3＋10＋17＋24＋…＋101。

　　2.求首項是5，末項是93，公差是4的等差數列的和。

　　3.求首項是13，公差是5的等差數列的前30項的和。

　　4.時鐘在每個整點敲打，敲打的次數等于該鐘點數，每半點鐘也敲一下。問：時鐘一晝夜敲打多少次？

　　5.求100以內除以3余2的所有數的和。

　　6.在所有的兩位數中，十位數比個位數大的數共有多少個？