1、一個自然數減去45及加上44都仍是完全平方數，求此數。
解：設此自然數為x，依題意可得
x-45=m^2; (1)
x+44=n^2 (2)
(m,n為自然數)
(2)-(1)可得 :
n^2-m^2=89或： (n-m)(n+m)=89
因為n+m>n-m
又因為89為質數，
所以：n+m=89; n-m=1
解之，得n=45。代入(2)得。故所求的自然數是1981。
2、求證：四個連續的整數的積加上1，等于一個奇數的平方(1954年基輔數學競賽題)。
分析 設四個連續的整數為，其中n為整數。欲證
是一奇數的平方，只需將它通過因式分解而變成一個奇數的平方即可。
證明 設這四個整數之積加上1為m，則
m為平方數
而n(n+1)是兩個連續整數的積，所以是偶數；又因為2n+1是奇數，因而n(n+1)+2n+1是奇數。這就證明了m是一個奇數的平方。
3、求證：11,111,1111,這串數中沒有完全平方數(1972年基輔數學競賽題)。
分析 形如的數若是完全平方數，必是末位為1或9的數的平方，即
或
在兩端同時減去1之后即可推出矛盾。
證明 若，則
因為左端為奇數，右端為偶數，所以左右兩端不相等。
若，則
因為左端為奇數，右端為偶數，所以左右兩端不相等。
綜上所述，不可能是完全平方數。
另證 由為奇數知，若它為完全平方數，則只能是奇數的平方。但已證過，奇數的平方其十位數字必是偶數，而十位上的數字為1，所以不是完全平方數。
4、求滿足下列條件的所有自然數：
(1)它是四位數。
(2)被22除余數為5。
(3)它是完全平方數。
解：設，其中n,N為自然數，可知N為奇數。
11｜N - 4或11｜N + 4
或
k = 1
k = 2
k = 3
k = 4
k = 5
所以此自然數為1369, 2601, 3481, 5329, 6561, 9025。
5、甲、乙兩人合養了n頭羊，而每頭羊的賣價又恰為n元，全部賣完后，兩人分錢方法如下：先由甲拿十元，再由乙拿十元，如此輪流，拿到最后，剩下不足十元，輪到乙拿去。為了平均分配，甲應該補給乙多少元(第2屆“祖沖之杯”初中數學邀請賽試題)？
解：n頭羊的總價為元，由題意知元中含有奇數個10元，即完全平方數的十位數字是奇數。如果完全平方數的十位數字是奇數，則它的個位數字一定是6。所以，的末位數字為6，即乙最后拿的是6元，從而為平均分配，甲應補給乙2元。
