1.黑板上寫著1～15共15個數，每次任意擦去兩個數，再寫上這兩個數的和減1。例如，擦掉5和11，要寫上15。經過若干次后，黑板上就會只剩下一個數，這個數是幾？

　　2.在黑板上任意寫一個自然數，然后用與這個自然數互質并且大于1的最小自然數替換這個數，稱為一次操作。問：最多經過多少次操作，黑板上就會出現2？

　　3.口袋里裝有101張小紙片，上面分別寫著1～101。每次從袋中任意摸出5張小紙片，然后算出這5張小紙片上各數的和，再將這個和的后兩位數寫在一張新紙片上放入袋中。經過若干次這樣的操作后，袋中還剩下一張紙片，這張紙片上的數是幾？

　　4.在一個圓上標出一些數：第一次先把圓周二等分，在兩個分點分別標上2和4。第二次把兩段半圓弧分別二等分，在分點標上相鄰兩分點兩數的平均數3（見右圖）。第三次把四段弧再分別二等分，在四個分點分別標上相鄰兩分點兩數的平均數。如此下去，當第8次標完后，圓周上所有標出的數的總和是多少？

　　5.六個盤子中各放有一塊糖，每次從任選的兩個盤子中各取一塊放入另一個盤子中，這樣至少要做多少次，才能把所有的糖都集中到一個盤子中？

　　6.將1～10十個數隨意排成一排。如果相鄰兩個數中，前面的大于后面的，那么就交換它們的位置。如此操作下去，直到前面的數都小于后面的數為止。已知10在這列數的第4位，那么最少要交換多少次？最多要交換多少次？

　　7.在下圖的方格表中，每次給同一行或同一列的兩個數加1，經過若干次后，能否使表中的四個數同時都是5的倍數？為什么？