關于解析簇的周煒良定理

　　周煒良于1949年發表了一篇重要論文“關于緊復解析簇”．所謂解析簇V，是指對任何p∈V，總存在一組解析函數g1，g2，…，gn，和點p的一個鄰域B(p)，使得V∩B(p)中的點x都是g1，g2，…，gn的零點．這是一種局部性質．由于多項式都是解析函數，所以代數簇都是解析簇．周煒良證明了某些情形下的逆命題：

　　“若V是n維復射影空間CPn中的閉解析子簇，那么它一定是代數簇，而且所有閉解析子簇間的半純映射，一定是有理映射”．

　　這一反映由局部性質向整體性質過渡的深刻結論，被稱為周煒良定理(ChowTheorem)，在代數幾何學著作中廣受重視．在許多論文里，常常把它作為新理論的出發點．

　　復解析流形

　　1950年前后，復解析流形的研究形成熱門課題．日本數學家小平邦彥(K．Kodaira)是這方面的專家，當時也在美國工作，與周煒良有交往．1952年，周煒良證明了如下結果：“若V是復r維的緊復解析流形，F(V)是V上半純函數所構成的域，則F(V)是有限的代數函數域，其超越維數s不會大于r．此外，還存在一s維的代數簇V＇以及V到V＇的半純變換T，使T可誘導出F(V)和F(V＇)間的同構．特別地，如果可選擇V＇使得T還是雙正則變換，那么V必是代數簇．這就把復解析流形和代數簇聯系起來了．

　　把這個一般的結論用于二維的克勒(Khler)曲面，并用小平邦彥所建立的克勒流形上的黎曼-羅赫(Riemann-Roch)定理，就可以得出如下結論：“具有兩個獨立的半純函數的克勒曲面(即s=r=2的情形)一定是代數曲面．”這是周煒良和小平邦彥合作的論文中的一個結論，被稱為周-小平(Chow-Kodaira)定理．

　　周煒良簇和周煒良環

　　用周煒良坐標可以對平面曲線和空間曲線進行分類．只要由已知的次數d和虧數g，從非奇異的空間射影曲線的周煒良坐標形成所謂周煒良簇，就能很自然地用有限個擬射影簇將它參數化．

　　在射影簇研究上，另一個為人們稱道的周煒良引理(ChowLemma)，涉及完全簇和射影簇的關系．蘇聯數學家И．Р．沙法列維奇(ЩaфapeВИЧ)在其名著《代數幾何基礎》中曾提到這一引理：

　　“對于每一個不可約的完全簇X，總有一個射影簇X＇，使得X和X＇之間有一雙有理同構”．

　　周煒良在射影簇方面最著名的工作是提出周煒良環(ChowRing)．他于1956年發表的論文“關于代數簇上閉鏈的等價類”中，提出了射影代數簇上代數閉鏈的有理等價性的系統理論．大意是：設V是n維射影空間Pn上的代數簇，其上的s維閉鏈所成的群為G(V，s)，與零鏈等價的閉鏈成子群Gr(V，s)．令Hr(V，s)是二者的商群．將s從1到n作直和，得Hr(V)=Hr(V，s)．

　　周煒良在Hr(V)上定義一種乘法，使之構成環，這就是著名的周煒良環．它是結合的，交換的，具有單位元．這篇論文由M．F．阿蒂亞(Atiyah)寫成文摘刊于美國的《數學評論》．

　　周煒良環具有很好的函子性質：設p是兩代數簇X，V之間的模射，f：X→V，則V中閉鏈C的原象f-1(C)也是X中的閉鏈，且此運算與相截(intersection)和有理等價性能夠相容．因此，它是代數幾何研究中的一項重要工具．周煒良環在許多情形可以代替上同調環．在證明各種黎曼-羅赫定理時，常用周煒良環去導出陳省身類．著名的韋伊(Weil)猜想的解決，也可使用周煒良環．

　　另一個常被引用的結論是所謂周煒良運動定理(Chow’sMo-vingLemma)：若Y，Z是非奇異擬射影簇X中的兩閉鏈，則必存在與Z有理等價的閉鏈Z＇，使Y和Z＇具有相交性質(inte-rsectproperty)．1970年在奧斯陸舉行的代數幾何會議上，有專文論述此定理．

　　關于阿貝爾簇的周煒良定理

　　20世紀40年代，A．韋伊(Weil)等開創了阿貝爾簇的研究．他們把代數曲線上的雅可比(Jacobi)簇發展為一般代數流形上的皮卡-阿爾巴內塞(Picard-Albanese)簇理論，將過去意大利學派的含糊結果加以澄清．周煒良對此作了豐富和發展，并推廣到特征p域的情形．周煒良在文獻［10］中證明對一般射影代數簇都存在雅可比簇．文獻［11］和［12］給出了阿貝爾簇的代數系統理論，其中有關可分(separable)、正則(regular)和本原擴張(pri-maryextention)的論述，已成為這一領域的基本文獻．

　　周煒良還證明了以下結論：“若A是域k上的阿貝爾簇，B是定義在k的準素擴張K上的阿貝爾子簇，那么B也在k上有意義．”S．郎(Lang)稱之為周煒良定理．

　　周煒良在1957年發表的關于阿貝爾簇的論文也反復被人引用．這一年，普林斯頓大學以數學名家萊夫謝茨的名義舉行“代數幾何與拓撲”的科學討論會，韋伊和周煒良都參加了．他們兩人在會上宣讀的論文密切相關．韋伊證明任何阿貝爾簇都可嵌入射影空間，而周煒良則證明任何齊次簇(不必完備)也可嵌入射影空間．文章不長，但解決得很徹底．

　　其他工作

　　周煒良在代數幾何領域的研究，涉及很廣．例如扎里斯基關于抽象代數幾何中的退化原理(degenerationprinciple)的論證，很長而且難懂，周煒良把證明作了大幅度壓縮，并加以推廣．他和井草準一(J．lgusa)合作，建立了環上代數簇的上同調理論．此外，還推廣了代數幾何中的連通性定理．在擴充由W．V．霍奇(Hodge)與D．佩多(Pedoe)證明的格拉斯曼(Grassm-ann)簇的基本定理時，指出了某些環空間上的代數特性．這些都是很有價值的工作．退休之后，周煒良仍然研究不輟．1986年，他以75歲高齡，發表了題為“齊次空間上的形式函數(formalfunction)”的論文．

　　P．拉克斯(Lax)把周煒良列為最重要的移居美國的數學家之一．但他性情淡泊，甚至很少參加國際學術會議．他是臺北中央研究院院士，卻長期不參加活動．應該說，周煒良的學術成就遠超過他應得的榮譽．不過，各種代數幾何的論著不斷地引用周煒良的工作，并以周煒良的名字陸續命名一系列術語，這也許是更有意義的褒獎了．