波利亞指出：“只要數學的學習過程稍能反映出數學的發明過程，那么就應該讓合情推理占有適當的位置。”《數學課程標準》也提出要求：“發展初步的合情推理能力，能用實例對一些數學猜想作出檢驗。”課程改革以來，合情推理受到了教師們前所未有的關注，數學教材中也大量地采用了數學猜想、枚舉歸納等合情推理的方法。不可否認，許多重大的數學發現都是在猜想中誕生的，但與此同時，我還看到了一些令人擔憂的現象：當學生的猜想與教師不謀而合時，教師喜形于色；在猜想只是得到個別實例的印證而不是普遍印證時，結論匆匆而定……我感到了驗證意識的淡化和漠視，驗證方法的盲目和缺失。最近我對“加法的交換律和結合律”進行了兩輪的教學實踐與反思，使我對如何在課堂教學中發展初步的合情推理能力，能用實例對一些數學猜想作出檢驗，有了更深刻的理解；對如何利用數學猜想、枚舉歸納等合情推理的方法，有了進一步的感悟。

　　案例：加法交換律和加法結合律

　　教學加法交換律時，出示了以下幾組算式讓學生計算。

　　16+27    27+16

　　45+27    27+45

　　……

　　師：你發現了什么？大膽地猜猜看！（生自由發表意見，師隨之用等于號將每組算式的左右兩邊連接起來。）

　　師：是不是像這樣的算式都有同樣的規律呢？你能仿照黑板上的樣子，再寫幾個嗎？

　　……

　　反思與實踐

　　從課堂教學流程上看，學生寫出了很多，也交流了不少，論據可謂充分。可在課后交流評析時，教研室趙主任的一句追問：“學生算了嗎？”使我如夢初醒。學生所舉的大量實例的價值就遭到了懷疑。原來，他們只是在機械地模仿，舉的例子也是漫無目的，甚至不知道教師的本意是讓他們通過計算來驗證，而不是簡單地依葫蘆畫瓢！如此“驗證”，徒具其形，未具其神。如此“驗證”，所謂的滲透數學思想方法，提升學生的思維水平的目標實現也只能是紙上談兵罷了。教學的的失敗使我陷入了深刻的思考。教學流程雖致力于讓學生經歷“猜想—驗證”的過程，也意識到“枚舉歸納”是小學階段重要的驗證方法，但是對于“枚舉歸納法”都缺乏深層次的認識。于是我們對相關理論進行了再學習，明白了所謂枚舉歸納是“根據一類事物中部分對象具有某種屬性并且沒有遇到反例，從而推出該類所有對象都具有這種屬性的歸納推理。”運用簡單枚舉歸納推理時應注意：被考察的對象數量越多、范圍越廣，結論就越可靠。教學之所以失敗，癥結就在這里。

　　可以說，解剖課例的過程是痛苦的。但惟其痛苦，才有“鳳凰涅磐”般的重生。于是有了第二次實踐。

　　為了防止學生機械模仿，我先示范著現場編出兩個算式：

　　17+39     39+17

　　師：這兩個算式是否相等？怎樣才能知道？（強調計算）然后鄭重其事地在中間劃上了等于號。

　　師：請你再寫幾組這樣的算式，并且算一算，看看剛才的猜想是否正確？

　　學生舉例、計算，教師有選擇、有順序地組織交流。

　　生1：因為10+20=30   20+10=30 所以10+20=20+10

　　生2：因為18+26=44   26+18=44  所以18+24=24+18

　　師：上面的例子都是兩位數加兩位數，還有不同的例子嗎？

　　生3：因為7+9=16  9+7=16  所以7+9=9+7

　　生4：因為8+18=26  18+8=26  所以8+18=18+8

　　生5：因為126+100=226   100+126=226  所以126+100=100+126

　　師：剛才同學們舉出了一位數加一位數、兩位數加一位數、三位數加三位數等不同的類型的例子，計算起來都不困難，誰能舉個難一點的數？

　　在教師的“鼓動”下，同學們躍躍欲試，舉出了更大的數。最后借助計算器，猜想同樣得到了驗證。這時學生的興致調到了極高點。

　　師：剛才同學們列舉不同的類型的例子，還有一個非常特殊的數在暗自傷心呢！怎么把它給忘了呢？包含0的算式是否也符合這個規律呢？你能舉個例子嗎？

　　師：有沒有不符合這個規律的例子？你能舉出來嗎？

　　……

　　學生的視角在教師的引領下，不斷地得以延展。

　　接下來，加法結合律的猜想及驗證過程順暢自然，一氣呵成。

　　感悟與反思：

　　第二次試教雖然教師對“驗證”只字未提，但我們可以感受到學生時時刻刻、真真切切地在經歷驗證的過程。隨著教師組織的逐步深入，學生的思維也隨之逐步優化。從理論上講，再多的例子也只是不完全歸納，但我們仿佛看到廣闊的數學王國展現在學生的視野中，一位數加一位數、兩位數加一位數、兩位數加兩位數，甚至更大的數和特殊的0，都滿足這樣的規律而且沒有人能舉出反例，我們有理由相信枚舉歸納的結論是正確的。在這個過程中，學生不僅獲得了數學結論，更重要的是學會了獲得數學結論的思想方法。兩次試教及兩次比較，使我深刻認識到：

　　1．豐富的數學活動素材為“猜想—驗證”提供物質基礎。

　　驗證結論是否可靠，在一定程度上取決于所枚舉事例的數量和范圍。所以，在運用枚舉法進行教學時，教師要十分重視對學習材料的選擇和設計，盡量增加枚舉的數量，防止千人一面；同時要十分重視對學習活動的優化和組織，盡量擴展考察的范圍，防止以偏概全。在生動活潑、精彩紛呈的數學活動材料的刺激下，學生的個性才能得到張揚，潛能才能得到挖掘。只有這樣，才能作出有價值的猜想和多方法、多方位的驗證，從而盡可能地增加結論的可信度。

　　2．豐厚的數學活動經驗為“猜想—驗證”積淀思想方法。

　　如果枚舉時只注重“量”而忽略了“質”，只注重了廣泛的“發散”而忽略了典型的“提煉”，那么學生的思維水平就永遠無法提升。教師適當的引導和點撥，猶如醍醐灌頂般促進學生的思維從合情推理水平向邏輯推理水平過渡，幫助學生積累從感性認識躍向理性認識的經驗。在這樣的數學活動過程中，學生獲取的不僅僅是數學基本知識和基本技能，更重要的是數學基本思想和基本活動經驗，尤其是，難能可貴的探究的品質將在學生的心靈生根、萌芽。

　　3、有效的課堂交流是“猜想—驗證”的有力保證。

　　“枚舉歸納”是小學階段重要的驗證方法。在培養學生的猜想能力中發揮較大的作用，可以促進學生創造性思維的形成。學生的猜想不可能都是正確的，而且往往是“異想天開”。作為教師，對待任何猜想，始終應該保持一條原則，那就是適時引導并組織有效交流，讓他們把自己的猜想依據、實踐過程以及得到的結論說出來，在猜想中探索出正確的答案，在實踐中驗證猜想的準確性，使其認識更加明確、思維更加完善，從而產生猜想的良性循環。