在浙江省平陽縣一個鄉下地方長大，屬浙江省蒼南縣平等鄉。那時候平陽縣很落后，全縣沒有初級中學，小學也不多。楊忠道在當地一所私立初小就讀到四年級。上五年級時，學校在離家五里以外的地方。高小時，楊忠道開始住校，到周末回家。

　　楊忠道上的初中在別的縣里，離開家約一百四十里。從家去學校須換舟車近十次，得花十五小時。

　　上四年級時，數學教師黃仲迪先生利用邏輯方法，討論雞兔同籠的問題，激發起他對數學的興趣。

　　由于家境貧困，楊忠道初中畢業后沒有考高中，而是在當地初小教二年級，用自己賺來的錢先上高中。因為失過學，楊忠道更成熟，也更能感受到求學機會的可貴，所以在高中三年成績總在班上前三名，因此公費完成高中學業。讀高中時他的數理化都不錯，以數學被老師及同學們認為最出色。

　　在艱苦的生活條件下，父親鼓勵楊忠道念工科。當時楊忠道很喜歡數學，也是理化的好學生，于是去向數學教師陳仲武先生請教。他沒有猶豫的說：“你當然去念數學，如果連你也不去念，還有什么人該去念呢?”憑仲武先生這一句話，楊忠道開始了自己的數學之路。

　　那時候平陽縣的教育雖然很落后，但是出了兩位數學家。第一位是姜立夫教授，他于1919年獲得美國哈佛大學數學博士學位，是中央研究院數學研究所第一任所長。第二位是蘇步青教授，他于1931年獲得日本東北帝大數學博士學位，是臺灣大學理學院第一任院長。兩人都是中央研究院第一屆的院士。楊忠道從小就聽過他們的大名，但到四十年代才認識他們。

　　高中畢業會考，楊忠道的成績，可以保送進國立大學就讀。但他決定進浙江大學，從蘇步青先生學習現代數學。

　　當時，浙大數學系在貴州省湄潭縣，步青先生是系主任。那時候系里沒有職員，系主任必須總管系里大小事務。步青先生對學生親如子女，照顧得很周到。楊忠道讀過的課程，一年級時有微積分和微分方程，二年級時有高等微積分、級數概論、立體解析幾何及選修的數論和偏微分方程，三年級時有綜合幾何、近世代數和復變量函數，四年級時有微分幾何、實變量函數和數學研究。在浙大楊忠道沒有學習過泛函分析、拓樸學，原因是沒有教師能教授這兩門課。

　　在大學四年中，楊忠道的數學課的成績沒有低于九十分者，每學期的總平均都高過九十分。他讓步青先生驚訝的不是這些高分數，而是在二年級讀理論力學時得九十分。理論力學是數學系學生的必修課程，但可待至三四年級時去讀。這是一門出名難讀的課程，數學系好學生去讀時，有時也很困難，甚至不及格須補考，使數學系很不滿意。怪不得步青先生見到他的高分時，笑著對他說：“數學系多年來的怨氣，給你一下子出光了。”事實上物理系學生讀這門課同樣有困難，和楊忠道一起讀理論力學的同學有十多人，及格只有五人。

　　上三年級的綜合幾何課是步青先生親授。他鼓勵學生閱讀課外參考書籍，楊忠道讀了一本的德文版射影幾何。并被指派義務替數學系管理圖書雜志的工作。因此上四年級時，楊忠道自己找題目完成一篇論文。后來，該篇論文在美國發表（《Duke J. of Math.》，1947 ）。

　　大學畢業后，楊忠道留校，任助教。兩年中，找題目作論文，除在國內發表的外，又有兩篇分別在美國數學雜志和阿根廷數學雜志上發表。1947年起政局相當混亂，楊忠道征得步青先生的同意，于1948年夏天，去中央研究院數學研究所，從代所長陳省身教授學習代數拓樸。目的是希望學到新知識后，再回浙大數學系。

　　沒有料到，之后時局急轉直下，數學研究所的研究活動完全停頓，教育部發表歷史語言研究所博斯年所長將繼任臺灣大學校長，于是他提議將中央研究院遷往臺灣。最后決定搬遷只歷史語言研究所和數學研究所，而且只準許部份人員去臺灣，其中包括楊忠道。

　　到了臺灣后，楊忠道與其他三位數學所單身人員，暫居楊梅鎮的一所倉庫里。后來他在師院附中（即后來的師大附中）執教一學期。1949年夏天，楊忠道正式在臺大數學系兼任講師。1949至1950年，他教授土木系微積分和機械系的微分方程。

　　1950年，王、胡兩先生幫助楊忠道獲得Teaching Fellowship，去美國Tulane University （Louisiana）讀博士學位，旅費由中央研究院給。

　　初到美國時，楊忠道英語不好，羞于開口。在十多位數學系的研究生中，他是唯一的非美國人，所以大家對他都很照顧。第一學期楊忠道選了四門數學課及一門閱讀報告。其中一位授課老師是 A.D. Wallace 教授，也是他博士論文的指導教授，其教課的方法是 R.L. Moore 創造的，將課程內容分做許多小命題，預先發給學生。上課時他要學生上臺去證明，他自己坐在臺下聽。一個學生沒完成時叫第二個上去，一個小時沒有完成就留到下一小時再繼續，他自己絕不幫忙。楊忠道的英語雖然不好，在他的課中表現得不錯，所以一開始就給他一個好印象。他對學生們很友善，常常在課余時到研究生的辦公室，談談數學，也講笑話。見到楊忠道的時候，總要提出或大或小的數學問題，囑楊忠道多想想。第二個學期一開始，他囑揚去讀法國數學家H. Cartan 在哈佛大學教授代數拓樸的講義。

　　Cartan講義中一個主要成果是“For compact  Hausdorff spaces， certain two cohomology theories are equivalent”在 Wallace 教授的課程中，楊忠道學到了fully normal spaces的概念。經過幾個星期的思考，楊忠道覺得 Cartan講義中的成果可以被擴充到 fully normal spaces。當他向Wallace教授提起這一發現時，Wallace教授十分驚訝，于是抽空和他討論其構想。幾星期后這位教授逐漸相信他的構想很可能是對的，可以作為他的博士論文。

　　Tulane University是美國南方一所好大學，在全美為二三流學校，數學系在楊忠道之前只出過不到十位的博士，于是Wallace教授通過系主任請研究院給他一個例外待遇。得博士學位照慣例必須修滿二十個學分，但Wallace教授覺得為他，為數學系，反不如早點給他博士學位，而且推薦他去研究活動多的地方，求進一步的發展，所以系里特許他第二學期不選課，專心書寫博士論文。