研究代數方程論

　　李銳對代數方程論的興趣發軔于對秦九韶、李冶等末元數學家著作的整理與研習，但其直接導因卻是汪萊在《衡齋算學》第五冊中對各類方程是否僅有一個正根的討論。在為汪萊所作的跋文中，他將汪萊所得到的96條"知不知"歸納為三條判定準則，其中第一條相當于說系數序列有一次變號的方程只有一個正根，第三條相當于說系數序列有偶數次變號的方程不會只有一個正根；它們與l6世紀意大利數學家卡當(G·CarJano)提出的兩個命題十分相似。

　　在《開方說》中，李銳則給出了更一般的陳述："凡上負、下正，可開一數"，"上負、中正、下負，可開二數"，"上負、次正、次負、下正，可開三數或一數"，"上負、次正、次負、次正、下負，可開四數或二數"；推而廣之，他的意思相當于說：(實系數)數字方程所具有的正根個數等于其系數符號序列的變化數或者比此變化數少2(精確的陳述應為"少一個偶數")。這一認識與法國數學家笛卡兒(R．Descartes)于l637年提出的判別方程正根個數的符號法則是不分伯仲的。

　　除了關于方程正根個數的判定法則之外，《開方說》中還有許多其他的重要成果。例如李銳首先引進了負根和重根的概念；他又將方程的非正數解稱為"無數"，并聲稱"凡無數必兩，無一無數者"，這里隱約含著虛根共扼出現的思想。李銳又在整數范圍內討論了二次方程和雙二次方程無實根的判別條件，創造了先求出一根首位再由變形方程續求其余位數字和其余根的"代開法"，還對末元算書中所包含的各種方程變形法，如倍根變形、縮根變形、減根變形、負根變形，逐一進行了解釋并加以完善。