101．空間填充
無法用較小的四面體堆出大四面體．假設從大四面體的的每一個頂點移去一個四面體，則留在中心的是一個有正方形橫切面的八面體，而這是無法由較小的四面體組成的． 
102．長方形的對角線
設h為l與b的最大公因數，則關系式為：
d= l +b-h
例如，當l =15，b=10，h=5時，與對角線相交的方格數目為：
15+10-5=20
103．分割平面的直線
列表之后就能很明顯地看出r的數目之間的差為1、2、3、4、5，以此類推．不難推導出當n=10時，r=56．n=100時，r的值也能用類似的方法導出，但如果用公式計算，得出5 051，自然是容易得多．
S=1+2+3+4+…+(n-1)+n
即 S=n+(n-1)+(n-2)+…+1(將次序顛倒)
因此 2S=(n+1)+(n+1)+(n+1)+…+(n+1)=n(n+1)
下一題將探討用差分推算數列的技巧，這種技巧在研究由P個平面分割空間，所分割成區域數目的極大值時也很有用．
分割平面在4個以上時，就很難用“看”的方法去了解實際狀況，這時差分技巧就派上用場了：
104．數字序列——差分
第十項為120．
原始數列的下兩項為62與87．
(5)67 (6)96 (7)238 (8)275
105．從點陣模式到數字模式
(1)4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 (2)1 5 13 25 41 61 85 113 145 第一個數列是第二個數列差分的集合．
數列(1)的第一百項為400．
數列(2)的第一百項等于
1+4+8+12+16+…+396
=1+4(1+2+3+4+…+99)
=1+2(1+2+3+…+97+98+99+99+98+97+…+3+2+1)
=1+2(100+100+100+…+100+100+100)
=1+(2×99×100)
=19801 第十個三角形內的點數很容易就可以由差分法找到． 
前10個奇數的和是102=100．
奇數1、3、5、…39的和為202=400，因為39是第二十個奇數．
在60與100之間的奇數和，就等于1至99的奇數和減去1至59的奇數和．99是第五十個奇數，59是第三十個奇數，故所求的和為502-302=1600．
106．釘板上的正方形
你可能認為在8×8釘板上，所能作出的不同形狀正方形的數目為19，但其實你忽略了在作對角線正方形時，有一個是以3、4、5為3邊的直角三角形為基礎的正方形，而這個正方形的邊長為5，所以與6×6釘板的邊界正方形重疊．
正方形數目N與釘板一邊的釘子數n的關系如下：
在8×8釘板上所作成的正方形面積為：
觀察其間的差，似乎看不出任何可以使數列繼續下去的明顯模式．
107．多邊形的三角分割
(1)有17條對角線．
(2)四邊形、五邊形分別有2條、5條對角線．
(n-3)條對角線，共有n個頂點，故得n(n-3)，但因為每一條對角線都重復計算了兩次，故此數目應減半．
(3)2條，3條，4條．
一般而言，在n邊形中，可以畫出n-3條互不交的對角線．
圖1與圖2是兩種分割六邊形的不同方法．
圖3～圖5是分割七邊形的其他3種方法．
1+5+1+2+2+2+2=15 1+2+3+2+1+3+3=15 1+2+4+1+2+2+3=15
在各種情況中，七邊形被分割后都形成5個三角形，每一個三角形都包含3個頂點，所以在使用的數字記錄系統中，每一個三角形都被計算了3次．因此各種情況的數字和都為5×3=15．
顯然多邊形的邊愈多，也就有愈多種不同的分割方法．但作者至今尚未找到一種公式，可以預測對已知邊數的多邊形進行分割時，不同分割方法的數目． 姑且不論有多少分割方法的問題，這個活動的目的之一是要介紹可以形成帶狀模式的數列．對帶狀模式的研究最近才剛起步，而且人們對它所知不多．只要你熟悉生成新數列的方法，其算術是相當簡單的，但形成的模式卻非常奇妙．
108．一個人玩的跳棋游戲
跳棋游戲雖然歷史悠久，但一直未受重視，可能是因為看起來似乎過于簡單．
“跳蛙”最少需移動15次．
將7個洞由左至右編號，則15次移動的方法如下所示，其中的數字代表空的洞：
3 5 6 4 2 1 3 5 7 6 4 2 3 5 4
策略為盡量用跳的方式，在此解中共跳了9次．
將x個黑色棋子與y個紅色棋子互換位置，最少要移動xy+x+y次，其中xy為“蛙跳”的次數．
109．一分為二
110．將立方體著色
最少需要3種顏色，因為有3個面交于立方體的頂點，這3個面必須為不同顏色，所以即使相對的面顏色相同，也沒有相鄰的面為相同顏色．
如果有A、B、C、D4種顏色可用，每一次取3種顏色的組合有4種，即ABC、ABD、ACD與BCD，而且每一種組合中只有一種將立方體著色的方法．所有其他的方法都會用到所有的4種顏色．如果沒有立方體模型，要整理出這些著色方法并不容易．要注意的是，除了兩個相鄰面必須不同色之外，相同顏色的面也不能超過兩個．
因此要用4種顏色涂6個面，就必須有兩種顏色用兩次，另外兩種顏色各使用一次．如此就有6組解答，如圖所示．
在每一種情況中，只出現一次的兩種顏色，必定是在相對的面．這6組解答，加上前面只用3種顏色的4組解答，所以將立方體著色共有10種不同的方法．
