41．面積相同的形狀
測量某種形狀的面積與以單位面積的形狀單元作鑲嵌圖案有關(guān)．基本的形狀單元通常是取正方形．在這道題目中，主要的概念是在面積固定(2平方單位)，以及頂點(diǎn)位置受到限制的情況下，看能找到多少不同的形狀．找到新形狀的關(guān)鍵是利用圖1中的三角形．
這些三角形可以用許多不同的方式互相組合，而產(chǎn)生出2平方單位面積的形狀．可以用下列兩種方式來看任何一種形狀的面積：
(1)較小形狀的總和．
(2)從較大的形狀切除幾部分后所剩余的部分．
舉例來說，圖1中(4)所示的斜線部分的形狀，可以視為一個(gè)單位正方形與兩個(gè)面積為單位正方形一半的三角形的總和；或是視為四個(gè)單位正方形減去一個(gè)單位正方形與兩個(gè)面積為單位正方形一半的三角形．
這個(gè)活動比一般教科書上以長乘寬計(jì)算長方形面積的方式更基本，而且也更重要．
在5×5的釘板上可以找到更多的形狀，因?yàn)榭梢孕纬上铝械娜切?/font>(圖2)．
42．釘板上的面積
在解答問題之前，你必須相信自己能夠正確導(dǎo)出所作出的形狀的面積．
所有內(nèi)部只有1枚釘子的形狀皆滿足：
也就是說，面積恰為該形狀邊界上釘子數(shù)目的一半．
所有邊界上有12枚釘子的形狀皆滿足：
A=i+5
也就是說，面積等于內(nèi)部釘子的數(shù)目加上5．
以上的公式都是皮克特定理的特殊情況．皮克特定理為：
43．釘板上的路徑
所有路徑的長度都是24，因?yàn)橐哌^25枚釘子，所以必須走24步．一般而言，路徑的長度為n2-1．可以找到旋轉(zhuǎn)式對稱的路徑，試著同時(shí)由不同端點(diǎn)出發(fā)而在中點(diǎn)會合，就可以找到對稱的路徑(圖1)．
可以走對角線時(shí)，在3×3的釘板上有許多種走法．因?yàn)橛?/font>9枚釘子，所以由A至B必須走8步．要找到最短的路徑，需要交叉移動或上下移動，但要找到最長的路徑，就需要盡可能地利用對角線．
最短的路徑為8單位長(圖2)，其中1單位表示釘板上釘子與釘子之間的最短距離．
3×3的釘板上，只可能有兩種對角線走法，如圖3所示．PQ的長√5，約等于2.236單位，QR的長為√2，約為1.414單位。
這個(gè)結(jié)果可由勾股定理導(dǎo)出或用尺量出，但用尺量無法得到與用勾股定理計(jì)算同樣精確的結(jié)果．當(dāng)路徑不得交叉時(shí)，最長的路徑如圖4(1)，其長度大約等于12.13．當(dāng)路徑可以交叉時(shí)，就可以運(yùn)用如PQ的走法，因此最長的路徑如圖4(2)所示，其長度大約為15.42．
請注意這兩種解答的對稱性．
有一種解法看起來比上兩種解法都要好，因?yàn)槠渲胁⒉话魏屋^短的步驟（圖5），不過其長度只有4√5+4√2≈14.6。
45．你能作出多少三角形
解這題需要分兩步．首先要決定能作出哪幾種三角形，然后計(jì)算每一種的個(gè)數(shù)．下列圖形是能在3×3釘板上形成的8種三角形．
第一種三角形有16個(gè)．每4枚釘子組成一個(gè)正方形，總共有4個(gè)正方形．
第二種三角形有16個(gè)，釘板邊緣的每對釘子都有2個(gè)．
第三種三角形有8個(gè)，每一邊有1個(gè)，以頂點(diǎn)為中心的有4個(gè)．
第四種三角形有16個(gè)，每一角落有2個(gè)，每一邊的中點(diǎn)有2個(gè)．
第五種三角形有4個(gè)，釘板的每一角落有1個(gè)．
第六種三角形有4個(gè)，釘板的每一邊有1個(gè)．
第七種三角形有4個(gè)，釘板的每一角落有1個(gè)．
第八種三角形有8個(gè)，釘板的每一邊有2個(gè)．
因此總共可以作出76個(gè)不同的三角形．
46．你能看出多少三角形
把直線相交的所有交點(diǎn)用英文字母予以標(biāo)示，然后用字母標(biāo)示出三角形，應(yīng)該會有所幫助．雖然這個(gè)問題與前一題有些類似，但所用的方法卻不同．
例如，首先記錄所有以AB為邊的三角形，然后取AC，以此類推．
將三角形按字母順序排列，可以很容易看出是否重復(fù)計(jì)算了某個(gè)三角形．
47．電動船
這是個(gè)很有趣的題目，最初看起來似乎不太可能有解．
不管船的路徑如何，除非導(dǎo)航員把船引導(dǎo)至圖中的C點(diǎn)，否則兩船不可能相遇．在C點(diǎn)，AC的距離等于BC的距離，由B向C的方向也比由A向C的方向多90°．因此當(dāng)船由A到達(dá)C時(shí)，另一艘船也會由B駛抵C．
48．四通八達(dá)
(1)A→C→E→B→D→A→B→C→D→E→A
還有許多其他可能的解，如：
A→B→C→D→A→C→E→B→D→E→A
(2)如果畫此網(wǎng)絡(luò)能使鉛筆不離開紙面，或不必走任何線兩次，則此網(wǎng)絡(luò)就具有穿程性(traversability)．在上一小題中，網(wǎng)絡(luò)具有穿程性；但在這一小題中，網(wǎng)絡(luò)只能分4個(gè)部分畫出，故鉛筆必須離開紙面3次．
最早研究穿程性網(wǎng)絡(luò)的人是18世紀(jì)早期的數(shù)學(xué)家歐拉(Eu-ler)，他所研究的就是著名的哥尼斯堡橋問題(Knigsbergbridges)．哥尼斯堡是德國的一個(gè)城市，普雷格爾河(RiverPregel)流經(jīng)市區(qū)，河中有兩座小島，由7座橋把兩岸和兩座小島連接起來，如圖1所示．哥尼斯堡的居民長久以來一直想知道要如何才能走遍7座橋，而且每座橋只經(jīng)過一次，最后又回到出發(fā)點(diǎn)，但他們找不到解決方法．當(dāng)歐拉獲知此問題時(shí)，他便證明此問題無解．他首先用網(wǎng)絡(luò)代表上述的地圖，將城市的每個(gè)區(qū)域簡化成點(diǎn)，橋簡化成�。F(xiàn)在，該問題就簡化成筆不離紙面就畫不出網(wǎng)絡(luò)的問題．
歐拉了解問題的關(guān)鍵是，A、B、C、D的弧線數(shù)目都是奇數(shù)——在B、C、D點(diǎn)有3條，在A點(diǎn)有5條(圖2)．
他證明有奇數(shù)條弧的網(wǎng)絡(luò)結(jié)點(diǎn)(奇數(shù)結(jié)點(diǎn))，只能作為網(wǎng)絡(luò)的起點(diǎn)或終點(diǎn)，所以有4個(gè)奇數(shù)結(jié)點(diǎn)的哥尼斯堡橋問題無解．
要知道為何奇數(shù)結(jié)點(diǎn)不能作為網(wǎng)絡(luò)的中間點(diǎn)，可考慮如圖3所示的3-結(jié)點(diǎn)P，及其分支1、2與3．對于包含P的網(wǎng)絡(luò)，當(dāng)鉛筆沿著1來到P點(diǎn)，并經(jīng)由2離開，然后在走過一些其他弧線之后，應(yīng)該沿著3回去，但這時(shí)卻沒有可以離開P的其他路．對任何奇數(shù)結(jié)點(diǎn)皆可以類似地論證，因此奇數(shù)結(jié)點(diǎn)只能作為起點(diǎn)或終點(diǎn)．只有在“所有的結(jié)點(diǎn)都是偶數(shù)結(jié)點(diǎn)(即具有偶數(shù)條弧線)”，或“除了兩個(gè)作為起點(diǎn)或終點(diǎn)的奇數(shù)結(jié)點(diǎn)外，所有結(jié)點(diǎn)都是偶數(shù)結(jié)點(diǎn)”這兩種情形下，網(wǎng)絡(luò)才具有穿程性．故哥尼斯堡人如果炸掉AB橋，或是在A與B之間增加第二座橋，就能解決這個(gè)問題了．
49．馬的位置
如圖是一種解法．請檢查是否每一個(gè)方格都會被攻擊．
也可以用5個(gè)王后，或9個(gè)王，或8個(gè)象得到相同的結(jié)果．請?jiān)囈辉嚕?/font>
50．倒轉(zhuǎn)火車
為了能有效地解出這個(gè)謎題，需要設(shè)計(jì)一些記錄各次移動的方法．如果能用一些標(biāo)上號碼的籌碼代表火車，實(shí)際在鐵路網(wǎng)上移動，將有助于思考．在此題的解答中共作了15次移動，如箭頭所示．
