在證明某數是否為質數時，最基本的問題就是：確定某數是否為質數的唯一方法，就是找出其因數．長久以來，人們一直想找出表示質數的“公式”，但都徒勞無功．下面介紹一些前人努力的結果．

　　(1)考慮下列的質數序列及其差分：

　　只要繼續生成質數，此序列就能持續下去．

　　差分的形式顯示出此序列可以下列二次式導出：

　　n²+n+11

　　(2)以不同的n代入，求下列二次式的值：

　　n²+n+41

　　并檢驗得出的值是質數還是合數(除1與其本身之外還有其他因數)．

　　這是一個相當了不起的公式，因為從1至80，除了7個數之外，其他由它所生成的數都是質數．請問使n²+n+41不為質數的第一個n值是多少？

　　(3)更好的公式為：

　　n²-79n+1601

　　因為它對于所有小于或等于80的整數都能生成質數．

　　(4)使下式不為質數的最小n值是多少？

　　2n²+29

　　(5)1640年，數學家費瑪(Fermat)以為自己發現了可以生成質數的公式：

　　2²ⁿ+1

　　試求當n=0，1，2，3，4時，由此公式所得出的數．有些數為質數．

　　之后經過了一百多年，才由數學家歐拉證明：2²⁵+1有兩個因數：641與6700417．