31．推銷員的旅程問題

　　這類問題非常值得討論，因為它們與實際生活密切相關．雖說問題本身很簡明，但令人困惑的是，至今沒有得出任何解析解．

　　李文黛的最短路徑為91英里，她的行程如下所示：

　　如果把漢尼頓列入行程中，則最短行程為：艾克塞特→歐卡漢頓→克雷頓→提文頓→卡林頓→漢尼頓→艾克茅茲→艾克塞特，總里程數為100英里．

　　因為最短行程的各路線彼此不相交錯，故其行程為一簡單封閉曲線，所以不論以哪一個城鎮作為起點及終點，其里程數均相等．但是如果起點和終點可以在不同的城鎮，那么只要將整個行程顛倒過來(依原行程反向而行)，以艾克塞特為起點，歐卡漢頓為終點，則可節省23英里的路程．

　　找到走完“十巖”的最短路徑是相當有趣的問題．作者相信上圖所示的路徑為最短路徑，但讀者也可提出反駁(注意：高度的變化、橫越河流與地勢的差異都是健行者考慮的因素)．最短的路徑為16.6英里．

　　在尋找最短路徑時，需要了解如果從A到B的路徑由A、B兩點的直線改為經過中間點P，可能會使路程增加．如果∠APB不比180°小很多，則幾乎可以忽略增加的路程；但當∠APB為銳角時，則路程將會顯著增加．參考上列的路線圖，并比較由克蘭密爾池經荒野巖到懸石巖，以及由毛皮巖經野兔巖到布雷克巖這兩小段路徑因為經過中間點而增加的里程．

　　33．尋找寶藏

　　將坐標變換與尋寶圖結合，使這個數學問題變得更加有趣了．在解決了幾個問題之后，你可以試著自己設計藏寶圖與線索．

　　此題的寶藏位在(7，3)，每一條線索所指示的地點為：

　　(1)→(1，3) (2)→(4，3) (3)→(4，7) (4)→(6，7)

　　(5)→(8，5) (6)→(5，8) (7)→(11，7)(8)→(7，3)

　　34．平行線的限制

　　此題并不需要使用三角學的知識去計算三角形的大小．

　　先在直線l上任取一點A點，然后用描圖紙和一個量角器將3條平行線l、m、n自定點A逆時針旋轉60°，而得出l＇、m＇、n＇這3條平行線(圖1)．

　　這個旋轉將自動地映射三角形的AC邊，而作出AB邊的圖(參見第69頁的圖形)．換言之，C映成B，所以經過C點的直線n將映成經過B點的直線，所以B點為直線n＇與m的交點．在找到AB邊之后，很容易完成等邊三角形ABC．以A點為中心，依順時針方向旋轉60°，則可找出C點就是直線m＇與n的交點．

　　要作出頂點分別落在平行四邊形的4條邊上的正方形也可以利用旋轉來處理．這個問題可以利用90°旋轉來解．

　　在圖2中的平行四邊形PQRS內有一個正方形ABCD，圖3顯示出PQRS對其中心旋轉90°后的情形．這時正方形的4個頂點可由下列直線的交集清楚地定義出來：

　　A＝PQ∩S＇P＇，B＝QR∩P＇Q＇

　　C＝RS∩Q＇R＇，D＝SP∩R＇S＇

　　使用描圖紙來輔助P＇Q＇R＇S＇的繪圖，可直接作出正方形ABCD的圖形．

　　圖4顯示出正方形的兩個頂點落在平行四邊形之外的情形，這個問題是要你找出頂點落在兩對相交的平行線上的正方形．

　　35．盒子游戲

　　許多孩子都很喜歡玩這個游戲，教師們不妨把它作為指派給學生的第一份研究作業．“假設…，會怎么樣？”這類問題對孩子而言應不至于太困難，他們可以借此課題做一些簡單的分析練習．