26．一招三式
考慮第一個游戲．由1至9，總數為15的3個數的組合共有8種，也許你已經想到它與標準的3×3幻方的關系(圖1)．
事實上，幻方中行、列與對角線的各組數字不但是所有可能的致勝組合，同時也顯示出與圈叉(井字)游戲的關聯(圖2)．
每一種致勝的組合都可對應于圈又游戲中致勝的線，所以運用此種策略將使你在數字游戲中掌握更多的機會．玩圈叉游戲時，先玩的人通常會把記號畫在中央的方格內，因為這個位置所控制的直線比其他任何位置都要多．
同樣地，玩數字游戲時，先玩的人通常選5，因為致勝的機會較大．
利用這種與幻方的關聯性，你也可以研究其他的數字組合問題．以下列出其中4種(圖3～圖6)，可參見《數學樂園·茅塞頓開》中的第142題．也可嘗試一下負數！
你現在應該能從第二個游戲中看出個所以然了．
這些單詞都是經過精挑細選的，以使其能配合3×3陣列，而在各行、列或對角線上的單詞中，都包含著其他地方并不出現的共同字母．所以，單詞的致勝組合同樣對應至圈叉游戲中致勝的線．MEAT為關鍵詞，且有4種贏的組合；位于角落的SARAH、BRED、EELS與BALL為次重要的詞，各有3種致勝組合；其余4個詞較不重要，只在2種組合中出現(見圖7)．了解了這些，這個游戲就可以類似圈叉游戲的方式玩了．
這個游戲其實是由加拿大數學家莫瑟(Lee Moser)設計的，稱為“HOT”，這是他在游戲中所用的一個詞．
要求能力較強的一組兒童自行設計具有相同性質的9個單詞，這是一個具有相當教育意義的題目．
不過也不一定要限于文字．一般，只需要8種足以區別的符號即可，每種符號對應于每一行、每一列，以及對角線．用如此9張卡片就可以設計出將這些符號置于方格中的形式，參見圖8所示．
如果你頗具有藝術天份，那么這些符號也可以是某種圖案．不過無論如何，這些游戲基本上都是一種圈叉游戲．
現在討論第三種游戲．當你了解到車道的編號是從1到9，與第一個游戲相符時，這些車道編號就特別有用．考慮5號車道，將其著色，即可連接A、B、C與D4個城鎮．仔細看地圖，可以看出每個城鎮都剛好有3條車道相交(或經過)，所以控制5號車道的人就能避免對手將這4個城鎮中任何一個的3條車道著色．這就等于是在圈叉游戲中，在中央的方格內畫上記號即阻擋了4條線的情形．同理，連接3個城鎮的2、8、4及6號車道，相當于圈叉游戲中的4個角落，而1、3、7與9號車道只連接兩個城鎮，則相當于“井”字四邊中間的方格．
圈叉游戲的“井”字與塞車游戲的地圖之間的對偶性，可通過圖9和圖10做比較．圖9相當于“井”字(每一個結點對應于各方格的中點)，因此共有8條線通過9點，而每一條線上有3點．圖10則是塞車地圖的拓撲圖形，共有8點，位于9條線上，且每一點都有3條線通過．兩個圖形都做了精確的標示，以顯示兩者的對應關系．例如，s線上的A、D與G點即對應于通過S點的a、d與g線．
數學的本質就是要在看似完全不同的狀況中探究潛在的結構而解析出相似的部分，因此分析這些游戲有助于培養數學的思考能力．
27．勾股定理再探
大部分的中學教師都熟知不只一種勾股定理的證明方法，但他們或許并不知道還有許多有趣又巧妙的方法與步驟．本題所介紹的方法當然不是所有的方法，但它們卻都意味深長．
盧米斯(Elisha Scott Loomis)所著的《勾股定理證明》(ThePythagorean Proposition)一書在1927年出版，書中共提出250種證明方法，該書由英國全國教師協會于1968年再版．
28．馬爾他十字機制
作者做的模型已流行多年，不難理解，模型愈大，愈容易制作．
在作者的模型中，圓盤D的直徑大約為14cm，且機械裝置被安裝在硬板上．
在第15題中可以看到一些其他的機械裝置．
29．旋轉式泵的幾何學
對許多小孩子而言，機械裝置的研究比抽象的運動幾何學更具體直觀，但其實兩者是互相關聯的．
30．月歷的排列
本題目可用來練習算術、圖案識別與簡單代數．
當總和為57時，所表示的日期為：
如果有5個日期在一列中，其正中央的數字為D，則這5個日期分別為
D－14，D－7，D， D＋7，D＋14
其總和為5D．所以只要把總和除以5，然后再加減7、加減14即可．
當總和為85時，D＝17，故對應于月歷上的最后一列．
如果一列中的第一個數字是6，則第五個數字為6＋7＋7＋7＋7＝34，但一個月不可能有34天．
假設在一個含有4個日期的列中第一個數字為F，則這4個日期分別為：
F，F＋7，F＋14，F＋21
故其總和為：
T＝4F＋42
所以只要先將總和減去42，然后除以4，就可得到F，再將F分別加上7、14、21，即可得出其余的日期．
十字形與H形的日期形式為：
這兩個圖形內的日期總和分別為5C與7C，所以若已給定日期總和，很容易就能得出C，然后再推算出其他的日期．
所以此方陣對角線上數字的乘積分別為：
D(D＋8)=D2＋8D，(D＋7)(D＋1)＝D2＋8D＋7
很顯然，兩者之間的差為7．此種結論可通過適當的活動設計，讓孩子自己去發現．
在3×3方陣中，對角線的數字和、中間行與中間列的數字和皆為3C，其中C為正中央的數字．此方陣并非幻方，因為其他行、列的和各不相同，它們是：
3C－21，3C－3，3C＋3，3C＋21
