話說在300年前的法國的Toulouse城，有一個地方議會的議員名叫費馬（Pierre Fermat 1601—1665）。這人是律師出身，閑來無事不喜歡鶯歌燕語，或者作圍城之戰，或者信步在庭院里練武。可以說是一個喜歡安靜生活，不想追逐權利，淡泊功名的人。他懂幾種外國語文，有時就用希臘、拉丁或者西班牙文寫寫詩詞自我朗誦消遣。

但是他最喜歡的玩意兒是搞數學和作一點科學研究，有時他把所得到的結果寫信給在遠方有同樣興趣的朋友，有時就把自己的心得寫在數學書的空白處。當時還沒有出現數學雜志可以讓他發表他的研究心得。

在1621年時，丟番圖的那本“算術”書從希臘文翻譯成法文在法國出版，費馬買到了這書后，對于數論的問題開始發生了興趣。在公余之后，就對一些希臘數學家的問題研究和推廣。

在丟番圖的書里有一部分是討論x²＋y²=z²的整數解的問題。費馬在這部份的底頁上，寫了幾行字：“相反地，要把一個立方數分為兩個立方數，一個四次方數分為兩個四次方數。一般地，把一個大于2次方的乘方數分為同樣指數的兩個乘方數，都是不可能的；我確實發現了這個奇妙的證明，因為這里的篇幅不夠，我不能夠寫在這個底頁上。”

好，我們現在把這段文字用代數方程寫下來，看看是什么樣子：

方程xⁿ＋yⁿ=zⁿ對于不等于零的正整數x，y，z，當n大于2時，是沒有解的。

這個結果數學家稱為費馬大定理或者費馬最后定理（Fermat’s Last Theorem）。在數學中一個命題當人們可以證明它是對的被稱為定理。可是以上的命題到現在三百多年了，沒有人證明它是對或者錯，而叫著“費馬大定理”這的確是奇怪的地方。

我們提到的德國富翁保羅·烏斯克所提的高價求解的問題就是這個問題：費馬定理是對呢還是錯？你現在是否想要獲得這獎金？如果想試一試，那么讓我再告訴你一些故事吧！

費馬有沒有說謊

費馬死后，他的大兒子把他的書信及一些手稿關于數學研究的成果匯集成書。人們很想知道費馬怎么樣證明那個“大定理”，可惜在手稿中都找不到定理的證明。

費馬是否不能證明，而故意在書頁上寫他證明了，而“自我欺騙”呢？像阿Q那樣的求得心靈上的一種安慰？

我想以他的才能和人品來看，他不會做這樣的事的。

在丟番圖的書上，費馬也寫下了他的幾個研究結果，如：

（1）任何形如4n＋ 1的素數是可以唯一表示成二個整數的平方的和，4n-1不能表示為二個整數的平方的和。

（2）對于任何整數n和素數p，n^p－n可以被p整除。

（3）x²+2=y³只有一個解x=5，y=3

這些結果費馬都沒有寫下他的證明。可是對于（1）18世紀的數學家歐拉（Euler）花了7年的時間才找到對（1）的證明。而對于（2），德國大數學家萊布尼茲（Leibniz）于1683年，以及歐拉在1749年也證明是對的。

費馬在數學上的貢獻是很大的。他和帕斯卡（B．Pascal）通過書信討論賭博的問題里的數學規律，兩個成為古典概率論的基本理論的奠基者。他研究希臘阿波羅尼的圓錐曲線理論，而建立了座標幾何的一些原理，可以說是和笛卡兒同樣是解析幾何的創立者。他利用曲線的性質，研究極大極小問題，是微分積分學的先驅者。

在物理上他也有重要的發現，他知道：先從一點走到另外一點，通過不同種類的媒介質而折射或者反射，它所選擇的路線一定是最短的。這理論到了1926年是物理上一個重要的分支“波動力學”的基本重要原理。

在1659年費馬給他朋友的信中寫道：“如果有一個任意給的素數4n＋1不是二個整數的平方和。對于給定的這個素數，我們還可以找到比這個還小的形如4n＋1的素數也有同樣的性質。因此用這個方法繼續找下去，也就是我發現的‘無窮下降法’，最后我們得到5這個素數，照理5是形如4n＋1，也該不是二個整數的平方和。可是這是明顯的錯誤，矛盾產生了！因此4n＋1形的素數一定是二個整數的平方和。”

費馬用這種“無窮下降”的方法，可以證明x⁴+y⁴=z⁴沒有整數解，然后由這里他很容易證明x⁴＋y⁴=z⁴是沒有整數解。

由于費馬對他的大定理在n=4時能證明，很可能他犯了錯誤，以為他這個方法是無往而不利，也能夠解決所有的情形。

引無數英雄競折腰

差不多三百年來有名的數學家都想要解決這個問題。法國的科學院，比利時的皇家科學院等數學團體都曾懸賞給這個問題解決者，可惜沒有人能拿到。

當然最令人刺激的是1908年德國保羅的獎金，當這消息在美國報章宣布時，引起了許多看在錢的份上而去研究這問題的人的狂熱。有一個時期有許多關于一些沒有受過數學訓練的人對這個問題解決的消息的宣布，可是事后證明他們的“證明”不是一竅不通就是胡說八道。

費馬本身是對n=4時證明了，因此對于任何4的倍數n=4m，費馬的方程可以寫成形如（x^m）⁴＋（y^m）⁴=（z^m）⁴，從而推得這方程無整數解。

現在對于一般的整數n，如果能表示為n=pm這里p是大于2的素數。則費馬方程可以寫成：

（x^m）^p+（y^m）^p=（z^m）^p

如果我們能證明x^p＋y^p=z^p沒有整數解，那么以上的方程也沒有整數解。因此要證明費馬定理是否是對，只要在對這方程有素數次方的情形來考慮就行了。

n=3的情形，歐拉在1770年給出證明。在1823年法國數學家勒讓得（Legendre）對n=5的情形給出證明，1839年拉梅（Lame）對n=7給出了證明。

160多年前，一個靠自己學習的巴黎小姐蘇菲·日耳曼（So－phie Germain）在費馬大定理上也有重要的貢獻。她證明了如果p是奇素數，而且q=2p+1也是素數，那么x^p＋y^p＝zp沒有整數解。這樣對于小于100的所有奇素數這個問題就算解決了。

在這么多研究費馬問題，最有成就的該是德國數學家庫沫爾（E．E．Kummer 1810—1893），他花了20年的時間想要解決費馬問題，最后他以為成功，結果后來給人指出他的理論還有些缺陷不能窮究所有的情況。雖然是這樣他的工作對數學的進展有很大的推動，他引進了理想數的概念，建立了代數數論的重要基礎理論。他把素數分成正則和不正則兩類，費馬方程對所有的正則素數是成立，因此主要工作是對不正則的素數來驗證，他知道小于164的不正則素數是：37，59，67，101，103，131，149，157因此證明了費馬定理對于n小于100時都是成立的。

庫沫爾雖然沒法子全部徹底解決費馬問題，但由于他創出了一個新的數學理論，以及對復數域深湛的研究，法國科學院頒給了他一個獎。

1955年美國數學家凡蒂文（H．S．Vandiver）用當時最好的電子計算機，對小于4002的不正則素數，檢驗費馬定理，發現費馬的定理還是成立。

各種數學家想用他們熟悉的方法來攻克這個問題。這個問題的吸引力是多么的大，是多么的“如此多嬌，引無數英雄競折腰”，可惜全部是敗北而去，有些還發了瘋。圍繞著這個問題是不知產生多少可悲的故事。

本世紀最有力的分析學家勒貝格（H．Lebesque 1875—1941），他在分析上創造了所謂的“勒貝格積分理論”，在分析學上可以說是一個大革命，推進了分析的發展。他晚年也沉迷于解決費馬問題。最后他向法國科學院呈上了一份論文，據說用他的理論已可全部解決了費馬定理。法國科學院非常高興，如果這是真的，法國可以向全世界驕傲，這個300年來最難的數學問題之一，已由他們本國人解決了。在一批數學家研究他的手稿后，發現他也是犯了錯誤，因此還是不成功。勒貝格在接回稿件時，喃喃自語：“我想，我這個錯誤是可以改正的。”可是直到他死前，他還不能解決這個問題。 

最新的發展

因為方程xⁿ＋yⁿ=zⁿ中的z不等于零，我們二邊除以zⁿ，就得到一

因此費馬問題是等價于這樣的幾何問題：證明在n大于3的任何整數，曲線uⁿ+vⁿ=1在uv平面上不可能有有理數點。

這樣費馬問題就變成了代數幾何的問題了。

在1974年于加拿大溫哥華舉辦的“國際數學家會議”頒發Field金牌獎給二個對數學有重要貢獻的年青數學家（這獎是數學界所能獲得的最高榮譽，等于科學上的諾貝爾獎）。其中之一是37歲的哈佛大學教授大偉·曼福特（David B．Mumford）。

他最近用代數幾何的工具證明了如果費馬方程xⁿ+yⁿ＝zⁿ有整數解，那么這個解可以說是“非常的少”，這是目前對費馬問題最接近解決的結果。他的方法是這樣：如果（x^m，y^m，z^m）是xⁿ＋yⁿ=zⁿ的無窮多解，我們根據z_m的大小來排這數組（x^m，y^m，z^m），由小排到大。那么我們就能找到一個常數a大于零和另外一個常數b，使得z_m恒大于10^10am+b，這個數是像天文數字那么大！

費馬問題還沒有完全解決，如果讀者有興趣可以先試試對n＝3和5的情形證明，然后再往前走。對了，有一點要說清楚的是：那個十萬馬克的獎金，由于德國在1920年爆發了非常嚴重的通貨膨脹，鈔票跌值驚人，這十萬馬克變成了一文不值。

英國數學家莫迭（Mordell）曾經講述：“如果你想發財，任何種方法都比證明這個費馬定理還要容易的多。”因此請不要為這不見了的十萬馬克的獎金而難過。

如果你還對數學有興趣，那么就請你在茶余飯后或者夜深人靜時想想底下的幾個問題：

1．一個農民要買每頭價80元的牛和每頭價50元的豬，他現在有810元，問能買幾頭牛和豬？（答：牛2頭豬13頭，或者牛7頭豬5頭。）

2．證明x²－3y²=17沒有整數解；

3．證明x²+5=y³沒有整數解；

4．x³＋y³=2z³，x，y，z的最大公約數是1只能有一個正整數解x=y＝z=1。