一　奇怪的無窮多

    整數有多少個？

　　無窮個。

　　偶數有多少個？

　　無窮個。

　　這樣的回答是正確的。如果我問你：

　　整數與偶數，哪一種數多？

　　恐怕不少同學都會說，當然整數比偶數多了。進一步，恐怕還會有同學告訴我，“偶數的個數等于整數個數的一半”。什么道理呢？那是因為“奇數與偶數合起來就是整數。而奇數與偶數是相同排列的，所以奇數與偶數一樣多，大家都是整數的一半。”

　　整數包括偶數，偶數是整數的一部分，全體大于部分，整數比偶數多，這不是顯而易見、再明白不過的事嗎？

　　你認為這樣的回答有道理嗎？

　　16世紀意大利著名科學家伽利略的看法卻與此相反，他曾提出過一個著名的悖論，叫做“伽利略悖論”，悖論的內容是：“整數和偶數一樣多”。這似乎違背常識。

　　不過，伽利略所說的，也絕不是沒有道理。首先，我們論述的對象都是無窮個，而不是有限個，對于有限個來說，“全體大于部分”無可爭議。從1到10的整數比從1到10的偶數就是多。但是，把這個用到無窮上就要重新考慮了。對于有限來說，說兩堆物體數量一樣多，只要把各堆物體數一下，看看兩堆物體的數量是否相等就可以。這個辦法對“無窮”來說是不適用的，因為“無窮”本身就包括“數不完”的意思在內。看起來，我們得另想辦法。

　　據說，居住在非洲的有些部族，數數最多不超過3，但是他們卻知道自己放牧的牛羊是否有丟失。辦法是，早上開圈放羊時，讓羊一只一只往外出。每出一只羊，牧羊人就拾一塊小石頭。顯然，羊的個數和小石頭的個數一樣多。傍晚，放牧歸來，每進圈一只羊，牧羊人從小石頭堆中仍掉一塊石頭。如果羊全部進了圈，而小石頭一個沒剩，說明羊一只也沒丟。非洲牧羊人實際上采取了“一對一”的辦法，兩堆物體只要能建立起這種一對一的關系，就可以說明兩堆物體的數量一樣多。

　　這種辦法同樣可以用在無窮上，看看要比較的兩部分之間能否建立起這種一對一的關系。伽利略在整數與偶數之間建立的對應關系是：

　　0 1 2 3 4 …

　　↓ ↓ ↓ ↓ ↓

　　2 4 6 8 10 …

　　按這樣的一種關系，給出一個整數，就可以找出一個偶數與之對應，給出的整數不同，與之相對應的偶數也不同；反過來，對于每一個偶數，都可以找到一個自然數與之對應，偶數不同，所對應的整數也不同，由此我們稱整數與偶數之間建立了一對一的關系，所以我們說：“整數與偶數一樣多”是正確的。

　　這告訴我們，“無窮”是不能用“有限”中的法則來衡量的，許多對“有限”成立的性質，對“無窮”卻未必成立。

二　變換

    任給一個自然數n，如果n是偶數，則將它除以2；如果n是奇數，則將它乘以3，再加上1，我們稱這種作法為對于數n的變換.例如，對于數5，按照上述規則進行一次變換得到。
　　3×5＋1＝16.

　　對16施行變換得 16÷2＝8.

　　將這種變換繼續下去，有

　　8÷2＝4， 4÷2＝2，

　　2÷2＝1， 1×3＋1＝4，

　　4÷2＝2， 2÷2＝1，

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　　有趣的是，對于數5，按照上面所要求的規則不斷變換下去，最終出現形如

　　4→2→1→4→2→1→……的重復.

　　還可以以6為例按上述指定規則進行變換，得到

　　6→3→10→5→16→8

　　4→2→1→4→2→1→……

　　再如18，

　　18→9→28→14→7→22→

　　11→34→17→52→26→13→

　　40→20→10→5→16→8→

　　我們發現在這種指定變換下，無論開始是哪個自然數，最終總得到形如

　　4→2→1→4→2→1的循環、重復.

　　遺憾的是我們不能僅憑列舉若干自然數，就斷定對任何自然數n都具備這種性質。事實上，到目前為止，還沒有誰能證明這一點。

　　在競賽中我們會遇到一些類似的變換，有時候是對一個數連續進行某種指定變換，有時候是對一組數連續進行某種指定變換。在紛亂多樣的變化中，卻隱藏著某種規律，而我們解決這些問題的關鍵，就在于透過表面現象，從“萬變”中揭示出“不變”的數量關系。

　　例1 對任意兩個不同的自然數，將其中較大的數換成這兩數之差，稱為一次變換。如對18和42可進行這樣的連續變換：

　　18，42→18，24→18，6→12，6→6，6。

　　直到兩數相同為止。問：對12345和54321進行這樣的連續變換，最后得到的兩個相同的數是幾？為什么？

　　解 如果兩個數的最大公約數是a，那么這兩個數之差與這兩個數中的任何一個數的最大公約數也是a。因此在每次變換的過程中，所得兩數的最大公約數始終不變，所以最后得到的兩個相同的數就是它們的最大公約數。因為12345和54321的最大約數是3，所以最后得到的兩個相同的數是3。

　　說明 這個變換的過程實際上就是求兩數最大公約數的輾轉相除法。

　　例2 在圖1中，對任意相鄰的上下或左右兩格中的數字同時加1或減1，這算作一次變換。經過若干次變換后，圖1變為圖2。問：圖2中A格中的數字是幾？

　　解 每次變換都是在相鄰的兩格，我們將相鄰的兩格染上不同的顏色（如圖3）。因為每次變換總是一個黑格與一個白格的數字同時加上或減1，所以所有黑格內的數字之和與所有白格內數字之和的差保持不變。因為圖1的這個差是13，所以圖2的這個差也是13。由（A＋12）－12＝13得A＝13。

　　例3 黑板上寫著三個整數，任意擦去其中一個，將它改寫成為其它兩數之和減1，這樣繼續下去，最后得到3，1997，1999，問原來的三個數能否是2，2，2？

　　解 答案是否定的。

　　注意到2，2，2按照題設中的方式首先變換為2，2，3，再變換下去必定其中兩個為偶數，一個為奇數（數值可以改變，但奇偶性不變）。但3，1997，1999是三個奇數，所以2，2，2永遠不會按照所述方式變為3，1997，1999。

　　想想練練

　　1.黑板上寫著1～15共15個數，每次任意擦去兩個數，再寫上這兩個數的和減1。例如，擦掉5和11，要寫上15。經過若干次后，黑板上就會剩下一個數，這個數是幾？

　　2.在黑板上任意寫一個自然數，然后用與這個自然數互質并且大于1的最小自然數替換這個數，稱為一次變換。問最多經過多少次變換，黑板上就會出現2？

　　3.口袋里裝有101張小紙片，上面分別寫著1～101。每次從袋中任意摸出5張小紙片，然后算出這5張小紙片上各數的和，再將這個和的后兩位數寫在一張新紙片上放入袋中。經過若干次這樣做后，袋中還剩下一張紙片，這張紙片上的數是幾？

　　4.在一個圓上標出一些數：第一次先把圓周二等分，在兩個分點分別標上2和4。第二次把兩段半弧分別二等分，在分點標上相鄰兩數的平均數3（圖4）。第三次把四段弧再分別二等分，在四個分點分別標上相鄰兩分點兩數的平均數。如此下去，當第8次標完后，圓周上所有標出的數的總和是多少？