一、基本概念和知識(shí)
1.質(zhì)數(shù)與合數(shù)
一個(gè)數(shù)除了1和它本身，不再有別的約數(shù)，這個(gè)數(shù)叫做質(zhì)數(shù)（也叫做素?cái)?shù)）。
一個(gè)數(shù)除了1和它本身，還有別的約數(shù)，這個(gè)數(shù)叫做合數(shù)。
要特別記住：1不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)。
2.質(zhì)因數(shù)與分解質(zhì)因數(shù)
如果一個(gè)質(zhì)數(shù)是某個(gè)數(shù)的約數(shù)，那么就說(shuō)這個(gè)質(zhì)數(shù)是這個(gè)數(shù)的質(zhì)因數(shù)。
把一個(gè)合數(shù)用質(zhì)因數(shù)相乘的形式表示出來(lái)，叫做分解質(zhì)因數(shù)。
例：把30分解質(zhì)因數(shù)。
解：30＝2×3×5。
其中2、3、5叫做30的質(zhì)因數(shù)。
又如12＝2×2×3＝22×3，2、3都叫做12的質(zhì)因數(shù)。
二、例題
例1 三個(gè)連續(xù)自然數(shù)的乘積是210，求這三個(gè)數(shù).
解：∵210=2×3×5×7
∴可知這三個(gè)數(shù)是5、6和7。
例2 兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和是40，求這兩個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積的最大值是多少？
解：把40表示為兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和，共有三種形式：
40=17+23=11＋29=3+37。
∵17×23＝391＞11×29＝319＞3×37＝111。
∴所求的最大值是391。
答：這兩個(gè)質(zhì)數(shù)的最大乘積是391。
例3 自然數(shù)123456789是質(zhì)數(shù)，還是合數(shù)？為什么？
解：123456789是合數(shù)。
因?yàn)樗擞屑s數(shù)1和它本身外，至少還有約數(shù)3，所以它是一個(gè)合數(shù)。
例4 連續(xù)九個(gè)自然數(shù)中至多有幾個(gè)質(zhì)數(shù)？為什么？
解：如果這連續(xù)的九個(gè)自然數(shù)在1與20之間，那么顯然其中最多有4個(gè)質(zhì)數(shù)（如：1～9中有4個(gè)質(zhì)數(shù)2、3、5、7）。
如果這連續(xù)的九個(gè)自然中最小的不小于3，那么其中的偶數(shù)顯然為合數(shù)，而其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)最多有5個(gè).這5個(gè)奇數(shù)中必只有一個(gè)個(gè)位數(shù)是5，因而5是這個(gè)奇數(shù)的一個(gè)因數(shù)，即這個(gè)奇數(shù)是合數(shù).這樣，至多另4個(gè)奇數(shù)都是質(zhì)數(shù)。
綜上所述，連續(xù)九個(gè)自然數(shù)中至多有4個(gè)質(zhì)數(shù)。
例5 把5、6、7、14、15這五個(gè)數(shù)分成兩組，使每組數(shù)的乘積相等。
解：∵5=5，7=7，6=2×3，14＝2×7，15=3×5，
這些數(shù)中質(zhì)因數(shù)2、3、5、7各共有2個(gè)，所以如把14
（=2×7）放在第一組，那么7和6（=2×3）只能放在第二組，繼而15（＝3×5）只能放在第一組，則5必須放在第二組。
這樣14×15=210=5×6×7。
這五個(gè)數(shù)可以分為14和15，5、6和7兩組。
例6 有三個(gè)自然數(shù)，最大的比最小的大6，另一個(gè)是它們的平均數(shù)，且三數(shù)的乘積是42560.求這三個(gè)自然數(shù)。
分析 先大概估計(jì)一下，30×30×30=27000，遠(yuǎn)小于42560.40×40×40＝64000，遠(yuǎn)大于42560.因此，要求的三個(gè)自然數(shù)在30～40之間。
解：42560=26×5×7×19
＝25×（5×7）×（19×2）
＝32×35×38（合題意）
要求的三個(gè)自然數(shù)分別是32、35和38。
例7 有3個(gè)自然數(shù)a、b、c.已知a×b=6，b×c=15，
a×c＝10.求a×b×c是多少？
解：∵6＝2×3，15=3×5，10＝2×5。
（a×b）×（b×c）×（a×c）
=（2×3）×（3×5）×（2×5）
∴a2×b2×c2=22×32×52
∴（a×b×c）2＝（2×3×5）2
a×b×c=2×3×5＝30
在例7中有a2＝22，b2=32，c2=52，其中22=4，32＝9，52＝25，像4、9、25這樣的數(shù)，推及一般情況，我們把一個(gè)自然數(shù)平方所得到的數(shù)叫做完全平方數(shù)或叫做平方數(shù)。
如.12=1，22＝4，32＝9，42=16，…，112=121，122=144，…其中1，4，9，16，…，121，144，…都叫做完全平方數(shù).
下面讓我們觀察一下，把一個(gè)完全平方數(shù)分解質(zhì)因數(shù)后，各質(zhì)因數(shù)的指數(shù)有什么特征。
例如：把下列各完全平方數(shù)分解質(zhì)因數(shù)：
9，36，144，1600，275625。
解：9=32 36=22×32 144=32×24
1600=26×52 275625=32×54×72
可見(jiàn)，一個(gè)完全平方數(shù)分解質(zhì)因數(shù)后，各質(zhì)因數(shù)的指數(shù)均是偶數(shù)。
反之，如果把一個(gè)自然數(shù)分解質(zhì)因數(shù)之后，各個(gè)質(zhì)因數(shù)的指數(shù)都是偶數(shù)，那么這個(gè)自然數(shù)一定是完全平方數(shù)。
如上例中，36＝62，144=122，1600=402，275625=5252。
例8 一個(gè)整數(shù)a與1080的乘積是一個(gè)完全平方數(shù).求a的最小值與這個(gè)平方數(shù)。
分析 ∵a與1080的乘積是一個(gè)完全平方數(shù)，
∴乘積分解質(zhì)因數(shù)后，各質(zhì)因數(shù)的指數(shù)一定全是偶數(shù)。
解：∵1080×a=23×33×5×a，
又∵1080=23×33×5的質(zhì)因數(shù)分解中各質(zhì)因數(shù)的指數(shù)都是奇數(shù)，
∴a必含質(zhì)因數(shù)2、3、5，因此a最小為2×3×5。
∴1080×a＝1080×2×3×5＝1080×30＝32400。
答：a的最小值為30，這個(gè)完全平方數(shù)是32400。
例9 問(wèn)360共有多少個(gè)約數(shù)？
分析 360=23×32×5。
為了求360有多少個(gè)約數(shù)，我們先來(lái)看32×5有多少個(gè)約數(shù)，然后再把所有這些約數(shù)分別乘以1、2、22、23，即得到23×32×5（=360）的所有約數(shù).為了求32×5有多少個(gè)約數(shù)，可以先求出5有多少個(gè)約數(shù)，然后再把這些約數(shù)分別乘以1、3、32，即得到32×5的所有約數(shù)。
解：記5的約數(shù)個(gè)數(shù)為Y1，
32×5的約數(shù)個(gè)數(shù)為Y2，
360（=23×32×5）的約數(shù)個(gè)數(shù)為Y3.由上面的分析可知：
Y3=4×Y2，Y2＝3×Y1，
顯然Y1=2（5只有1和5兩個(gè)約數(shù)）。
因此Y3＝4×Y2=4×3×Y1=4×3×2=24。
所以360共有24個(gè)約數(shù)。
說(shuō)明：Y3=4×Y2中的“4”即為“1、2、22、23”中數(shù)的個(gè)數(shù)，也就是其中2的最大指數(shù)加1，也就是360＝23×32×5中質(zhì)因數(shù)2的個(gè)數(shù)加1；Y2=3×Y1中的“3”即為“1、3、32”中數(shù)的個(gè)數(shù)，也就是23×32×5中質(zhì)因數(shù)3的個(gè)數(shù)加1；而Y1=2中的“2”即為“1、5”中數(shù)的個(gè)數(shù)，即23×32×5中質(zhì)因數(shù)5的個(gè)數(shù)加1.因此
Y3＝（3＋1）×（2+1）×（1+1）=24。
對(duì)于任何一個(gè)合數(shù)，用類(lèi)似于對(duì)23×32×5（=360）的約數(shù)個(gè)數(shù)的討論方式，我們可以得到一個(gè)關(guān)于求一個(gè)合數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)的重要結(jié)論：
一個(gè)合數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)，等于它的質(zhì)因數(shù)分解式中每個(gè)質(zhì)因數(shù)的個(gè)數(shù)（即指數(shù)）加1的連乘的積。
例10 求240的約數(shù)的個(gè)數(shù)。
解：∵240＝24×31×51，
∴240的約數(shù)的個(gè)數(shù)是
（4＋1）×（1+1）×（1＋1）=20，
∴240有20個(gè)約數(shù)。
請(qǐng)你列舉一下240的所有約數(shù)，再數(shù)一數(shù)，看一看是否是20個(gè)？
