十一、不定方程（二）

            年級      班      姓名      得分    

1.已知△和☆分別表示兩個自然數,并且           ,△+☆=          .

2.箱子里有乒乓球若干個,其中25%是一級品,五分之幾是二級品,其余91個是三級品.那么,箱子里有乒乓球         個.

3.某班同學分成若干小組去值樹,若每組植樹n棵,且n為質數,則剩下樹苗20棵;若每組植樹9棵,則還缺少2棵樹苗.這個班的同學共分成了       組.

4.不定方程 的自然數解是             .

5.王老師家的電話號碼是七位數,將前四位數組成的數與后四位數組成的數相加得9063;將前三位組成的數與后四位組成的數相加得2529.王老師家的電話號碼是          .

6.有三個分子相同的最簡假分數,化成帶分數后為 .已知a,b,c都小于10,a,b,c依次為        ,         ,         .

7.全家每個人各喝了一滿碗咖啡加牛奶,并且李明喝了全部牛奶(若干碗)的 和全部咖啡(若干碗)的 .那么,全家有        口人.

8.某單位職工到郊外植樹,其中 的職工各帶一個孩子參加,男職工每人種13棵樹,女職工每人種10棵,每個孩子種6棵,他們共種了216棵樹,那么其中有女職工       人.

9.將一個棱長為整數(單位:分米)的長方體6個面都涂上紅色,然后把它們全部切成棱長為1厘米的小正方體.在這些小正方體中,6個面都沒涂紅色的有12塊,僅有2面涂紅色的有28塊,僅有1面涂紅色的有     塊.原來長方體的體積是     立方分米.

    10.李林在銀行兌換了一張面額為100元以內的人民幣支票,兌換員不小心將支票上的元與角、分數字看倒置了(例如,把12.34元看成34.12元),并按看錯的數字支付.李林將其款花去3.50元之后,發現其余款恰為支票面額的兩倍,于是急忙到銀行將多領的款額退回.那么,李林應退回的款額是        元.

二、解答題

11.一隊旅客乘坐汽車,要求每輛汽車的乘客人數相等,起初每輛汽車乘22人,結果剩下一人未上車;如果有一輛汽車空車開走,那么所有旅客正好能平均分乘到其它各車上.已知每輛汽車最多只能容納32人,求起初有多少輛汽車?有多少旅客?

12.小王用50元錢買40個水果招待五位朋友.水果有蘋果、梨子和杏子三種,每個的價格分別為200分、80分、30分.小王希望他和五位朋友都能分到蘋果,并且各人得到的蘋果數目互不相同,試問他能否實現自己的愿望?

13.一次數學競賽準備了22支鉛筆作為獎品發給一、二、三等獎的學生,原計劃發給一等獎每人6支,二等獎每人3支,三等獎每人2支,后來改為一等獎每人9支,二等獎每人4支,三等獎每人1支,問:獲一、二、三等獎的學生各幾人?

14.采購員用一張1萬元支票去購物.購單價590元的A種物若干,又買單價670元的B種物若干,其中B種個數多于A種個數,找回了幾張100元和幾張10元的(10元的不超過9張).如把購A種物品和B種物品的個數互換,找回的100元和幾張10元的鈔票張數也恰好相反.問購A物幾個,B物幾個?

———————————————答 案——————————————————————

1.  5.

依題意得11△+5☆=37,易知其自然數解為△=2,☆=3.所以△+☆=5.

2.  260.

設箱子里共有n個乒乓球,二級品占 .依題意,得

整理得      ①

易知  15-4 a>0,所以a≤3.

將a=1,2,3代入①知,只有a=2符合要求,此時n=260(個).

3.  11.

設共分為x組.由樹苗總數可列方程

因為22=1×22=2×11, n是小于9的質數,對比上式得x=11(組).

4. 

顯然z只能取1,2,3.

當z=1時, ,其自然數解為x=2, y=4; x=5, y=2.

當z=2時, ,其自然數解為x=3, y=1.

當z=3時, ,顯然無自然數解.

所以原方程的自然數解為:

5.  8371692.

設電話號碼的前三位為x,后三位y,第四位為a(a≠0).由題意有

①-②,化簡得 .

當a=1時, x=837, y=692;

當a≥2時, y<0,不合題意.

所以電話號碼為8371692.

6.  7,3,2.

由題意有 .解這個不定方程,得 .

7.  5.

設全家共喝了x碗牛奶和y碗咖啡,依題意得:

整理得  .

易得其自然數為x=2, y=3.故共喝牛奶和咖啡2+3=5(碗).因此,全家有5口人.

8.  3.

設有女職工x人,男職工y人,那么有孩子 人.這個條件說明3| x+ y.

由已知 

即     

由12|4(x+ y),12|72.

所以12| y,又 ≤ .

所以, y=12, x=3.即有女職工3人.

9.  32,80.

    剝去所有涂色的小塊,得到上圖.

由上面兩上算式可以推算出 ,僅1面涂色彩正方體有:

          (塊).

原來長方體的體積為

   (立方分米).

10.  17.82

     設支票上的元數與角、分數分別為x和y,則可列得方程

        ,

     其中x,y為整數且0≤x,y<100.

     化簡方程得  

     由此推知2x<y且為x偶數,其可能取值為2,4,…,48.

     又    ,

           56≤ ≤

     所以  或 .

     所以  (舍去).

     故 ,此時 .即李林的支票面額為14.32元,競換時誤看成32.14元,李林應退款額為32.14-14.32=17.82元.

11.  設起初有x輛汽車,開走一輛汽車后每車乘n人,依題意,得

           ,

     所以 

     又n, x為整數,所以(x-1)|23,故x-1=1或23,即x=2或x=24.

     若x=2,則 與n≤32產生矛盾.

     因此x=24或n=23,故起初有24輛汽車,有旅客22 x+1=529(名).

12.  設蘋果、梨子、杏子分別買了 個,則

     消去z得     ①

     所以 

     由0<y<40得 

     即    

     又 5|5 y,5|380,(5,17)=1,由①得5| x.所以x=15或x=20.

     當x=15時, y=25, z=0,不合題意.

     因此x=20, y=8, z=12.

     因此,小王的愿望不能實現,因為按他的要求,蘋果至少要有1+2+3+4+5+6=21>20個.

13.  設獲一、二、三等獎的人數分別為 ,根據題意有:

     2×②得     ③

     ③-①得         ④

     解④求得整數解為x=1, y=2.

     代入②可求得z=5.

     答:獲得一等獎的有1人,獲得二等獎的有2人,獲三等獎的有5人.

14.  設買A種物品a個, B種物品b個,找回100元的m張,10元的n張,則有:

     其中b>a,n<10.

     ①-②得             ③

     所以  ,故 ,

     由b>a,n<10知  m<n<10,因此, m-n=8,從而b-a=9.

     由此推知n=9, m=1, b=a+9.

     代入①式,解得a=3. B=12.

     答:購A物3個,B物12個.