形和數的密切關系，在古代就被人們注意到了．古希臘人發現的形數就是非常有趣的例子．
例1 最初的數和最簡的圖相對應．
這是古希臘人的觀點，他們說一切幾何圖形都是由數產生的．
例2 我國在春秋戰國時代就有了“洛圖”（見下圖）．圖中也是用“圓點”表示數，而且還區分了偶數和奇數，偶數用實心點表示，奇數用空心點表示．你能把這張圖用自然數寫出來嗎？見下圖所示，這個圖又叫九宮圖．
例3 古希臘數學家畢達哥拉斯發現了“形數”的奧秘．比如他把1，3，6，10，15，…叫做三角形數．因為用圓點按這些數可以堆壘成三角形，見下圖．
畢達哥拉斯還從圓點的堆壘規律，發現每一個三角形數，都可以寫成從1開始的n個自然數之和，最大的自然數就是三角形底邊圓點的個數．
第一個數：1=1
第二個數：3=1+2
第三個數：6=1+2+3
第四個數：10=1+2+3+4
第五個數：15=1+2+3+4+5
…
第n個數：1+2+3+4+5+…+n
指定的三角形數．比如第100個三角形數是：
例4 畢達哥拉斯還發現了四角形數，見下圖．因為用圓點按四角形數可以堆壘成正方形，因此它們最受
畢達哥拉斯及其弟子推崇．
第一個數：1=12=1
第二個數：4=22=1+3
第三個數：9=32=1+3+5
第四個數：16=42=1+3+5+7
第五個數：25=52=1+3+5+7+9
…
第n個數：n2=1+3+5+9+…+（2n-1）．
四角形數（又叫正方形數）可以表示成自然數的平方，也可以表示成從1開始的幾個連續奇數之和．奇數的個數就等于正方形的一條邊上的點數．
例5 類似地，還有四面體數見下圖．
仔細觀察可發現，四面體的每一層的圓點個數都是三角形數．因此四面體數可由幾個三角形數相加得到：
第一個數：1
第二個數：4=1+3
第三個數：10=1+3+6
第四個數：20=1+3+6+10
第五個數：35=1+3+6+10+15．
例6 五面體數，見下圖．
仔細觀察可以發現，五面體的每一層的圓點個數都是四角形數，因此五面體數可由幾個四角形數相加得到：
第一個數：1=1
第二個數：5=1+4
第三個數：14=1+4+9
第四個數：30=1+4+9+16
第五個數：55=1+4+9+16+25．
例7 按不同的方法對圖中的點進行數數與計數，可以得出一系列等式，進而可猜想到一個重要的公式．
由此可以使人體會到數與形之間的耐人導味的微妙關系．
方法1：先算空心點，再算實心點：
22+2×2+1．
方法2：把點圖看作一個整體來算32．
因為點數不會因計數方法不同而變，所以得出：
22+2×2+1=32．
方法1：先算空心點，再算實心點：
32+2×3+1．
方法2：把點圖看成一個整體來算：42．
因為點數不會因計數方法不同而變，所以得出：
32+2×3+1=42．
方法1：先算空心點，再算實心點：
42+2×4+1．
方法2：把點圖看成一個整體來算52．
因為點數不會因計數方法不同而變，所以得出：
42+2×4+1=52．
把上面的幾個等式連起來看，進一步聯想下去，可以猜到一個一般的公式：
22+2×2+1=32
32+2×3+1=42
42+2×4+1=52
…
n2+2×n+1=（n+1）2．
利用這個公式，也可用于速算與巧算．
如：92+2×9+1=（9+1）2=102=100
992+2×99+1=（99+1）2
=1002=10000．
