小學三年級奧數趣題

 　　質數就是只能被1或其本身整除的整數，例如：

　　5 29 41 83

　　唯一的偶數質數是2，因為按照定義，所有其他的偶數，如6、10、28的因數，除了1與其本身之外，都包括2．故除了2以外，所有質數都是奇數．

　　長久以來，許多數學家對于哪些數為質數，以及質數的分布情形都很感興趣．與質數有關的定理，最早可追溯至公元前3世紀的歐幾里德，他以很簡潔的方法證明有無窮多個質數．

　　有時質數之間非常接近，例如：

　　2 3 5 7 11 13

　　但有時也非常稀疏，像是23與37之間，就只有兩個質數．請問這兩個質數是多少？

　　在小于100的數中，找質數比較容易，但在100之后，質數之間的距離就大得多了．

　　試找出113之后的下一個質數．

　　不過即使如此，在小于100的數中，通常10個連續的數中就會包含一個質數．

　　那么在190與200之間有多少質數？

　　數學家已證明，只要數字夠多(如5000以內)，就一定可以找到不包含一個質數的連續整數序列．

　　與質數有關的理論相當多，但其中也有不少猜想尚待證明．

　　(1)其中最著名的猜想就是“哥德巴赫猜想”(Goldbach Conjecture)．這是哥德巴赫在1742年寫給歐拉的信中提到的猜想，其內容為：

　　除了2以外的任何偶數，都可以用兩個質數的和表示．

　　歐拉無法證明這個猜想．時至今日，雖然沒有發現任何反例，但還是無人能予以證明．

　　將28、50、100、246以兩個質數之和表示．是否只有一種表示方式？

　　(2)除了2以外，所有的質數都是奇數，因此任何兩個質數(除了2)的差是偶數．這或許很明顯，但有趣的是：

　　所有的偶數都是兩連續質數的差．

　　請說明對下列偶數這種說法可以成立．

　　2 4 6 8 10 12 14

　　要得到上面的結果，你所找的質數不會大于250．

　　(3)在1848年，波里奈克(de Polignac)指出：

　　每一個奇數都可以用一個質數與一個2的乘方之和表示．

　　例如：25=17+23．

　　隨機選擇一些奇數，測試波里奈克的猜測，是否只有一種表示方法？

　　(4)質數通常以連續奇數成對出現，如5與7、17與19、29與31．一般相信這種成對的質數有無限多個，但尚無人能加以證明．

　　在150與200之間只有3對這樣的質數，請把它們找出來！

　　(5)研究下列的猜測：

　　①在連續的平方數之間，至少有一個質數．

　　②除了2與3之外的每一個質數，都可以寫成6n±1的形式，其中n為自然數．

　　③任何具有4n+1形式的奇質數，等于兩個完全平方數之和．