小學(xué)五年級奧數(shù)第四講——雞兔同籠問題
“雞兔同籠”問題小朋友們聽說過嗎？這是一類著名的數(shù)學(xué)問題。比如：“雞兔同籠，共有45個頭，146只腳。籠中各有多少只雞兔？”雞兔同籠問題的特點是：題目中有兩個或兩個以上的未知數(shù)，要求根據(jù)總數(shù)量，求出各未知數(shù)的單量。解題時，首先要根據(jù)題目中所給出的兩個未知數(shù)的關(guān)系，用一個未知數(shù)代替另一個未知數(shù)，從而將兩個未知數(shù)裝化為一個未知數(shù)，從而解出答案。
典型例題
例【1】雞兔同籠，共有45個頭，146只腳。籠中雞兔各有多少只？
分析題目中給出了雞、兔共45只。如果假設(shè)這45只全都是兔子，那么就應(yīng)該有180只腳。而題目只告訴我們有146只腳，我們算的180只腳和實際相比多算了34只腳。為什么呢？因為一只雞是兩只腳，而我們把它當(dāng)成4只腳算了。如果用一只雞來置換一只兔，就要減少2之腳，那么，34只腳里包含多少個2只腳，也就是我們把多少只雞當(dāng)成了兔子，顯然34÷2＝17（只）。所以雞有17只，兔子有28只。當(dāng)然，我們也可以把45只都假設(shè)成是雞，把以上問題反過來考慮。
解法一假設(shè)全是兔子。
（4×45－146）÷（4－2）＝17（只）——雞
45－17＝28（只）——兔
解法二假設(shè)全是雞。
（146－2×45）÷（4－2）＝28（只）——兔
45－28＝17（只）——雞
答：雞有17只，兔子有28只。
例【2】盒子里有大、小兩種鋼珠共30個，共重266克，已知大鋼珠每個11克，小鋼珠每個7克。盒中大鋼珠、小鋼珠各有多少個？
分析假設(shè)全部都是大鋼珠，則共重：11×30＝330（克）；
比原來的克數(shù)重：330－266＝64（克）；
小鋼珠的個數(shù)是：64÷（11－7）＝16（個）
大鋼珠的個數(shù)是：30－16＝14（個）
同樣，也可以假設(shè)全部都是小鋼珠。算法一樣。
解法一假設(shè)全是大鋼珠。
（30×11－266）÷（11－7）＝16（個）——小鋼珠
30－16＝14（個）——大鋼珠
解法二假設(shè)全是小鋼珠。
（266－30×7）÷（11－7）＝14（個）——大鋼珠
30－14＝16（個）——小鋼珠
例【3】一個集郵愛好者買了10分和20分的郵票共100張，總值18元8角。這個集郵愛好者買這兩種郵票各多少張？
分析先假定買來的100張郵票全部是20分一張的，那么總值應(yīng)是2000分，比原來的總值多120分。而多的120分，是把10分一張的看作是20分的一張的，每張多算10分。因此可以先求出10分一張的郵票有多少張。
解10分一張的郵票的張數(shù)有：
（2000－1880）÷（20－10）＝12（張）
20分一張的郵票張數(shù)有：
100－12＝88（張）
答：10分一張的郵票有12張，20分一張的郵票有88張。
例【4】學(xué)校買來3個排球和2個足球，共花去111元。每個足球比每個排球貴3元。每個排球和每個足球各多少元？
分析根據(jù)“每個足球比每個排球貴3元”可知，當(dāng)把買2個足球換成買2個排球時，買球共花的錢就會比原來少6元，現(xiàn)在買的是（3＋2）個排球，因此，可以求出每個排球的價錢。
解每個排球的價錢：
（111－3×2）÷（3＋2）＝21（元）
每個足球的價錢：
21＋3＝24（元）
答：每個排球的價錢是21元，每個足球的價錢是24元。
同樣，這道題也可以將3個排球換成3個足球來考慮。
例【5】買2支鋼筆的價錢等于買8支圓珠筆的價錢。如果買3支鋼筆和5支圓珠筆共花17元，問兩種筆每支各多少元？
分析根據(jù)“買2支鋼筆的價錢等于買8支圓珠筆的價錢”，可知“買1支鋼筆的價錢等于買4支圓珠筆的價錢”，買3支鋼筆的價錢可以買（4×3）支圓珠筆。這樣，我們就可以將買鋼筆的支數(shù)轉(zhuǎn)換為買圓珠筆的支數(shù)了。從而順利地求出每支圓珠筆的價錢。
解一支圓珠筆的價錢：
5＋（8÷2）×3＝17（支）
17÷17＝1（元）
一支鋼筆的價錢：
1×8÷2＝4（元）
答：一支鋼筆4元，一支圓珠筆1元。
小結(jié)解“雞兔同籠問題”的常用方法是“替換法”、“轉(zhuǎn)換法”、“置換法”等。通常把其中一個未知數(shù)暫時當(dāng)作另一個未知數(shù)，然后根據(jù)已知條件進行假設(shè)性的運算，直到求出結(jié)果。
概括起來，解“雞兔同籠問題”的基本公式是：
雞數(shù)＝（每只兔腳數(shù)×雞兔總數(shù)－實際腳數(shù)）÷（每只兔子腳數(shù)－每只雞的腳數(shù)）
兔數(shù)＝雞兔總數(shù)－雞數(shù)
