例1.設x是正實數，求函數的最小值。

解：先估計y的下界。

又當x=1時，y=5，所以y的最小值為5。

說明 本題是利用“配方法”先求出y的下界，然后再“舉例”說明這個下界是可以限到的。“舉例”是必不可少的，否則就不一定對了。例如，本題我們也可以這樣估計：

但y是取不到-7的。即-7不能作為y的最小值。

例2. 求函數的最大值和最小值。

解 去分母、整理得：(2y-1)x²+2(y+1)x+(y+3)=0.

當時，這是一個關于x的二次方程，因為x、y均為實數，所以

D=[2(y+1)]²-4(2y-1)(y+3)³0, y²+3y--4£0,

所以　 -4£y£1

又當時，y=-4;x=-2時，y=1.所以y_min=-4，y_max=1.

說明　 本題求是最值的方法叫做判別式法。

例3.求函數，xÎ[0,1]的最大值

解：設，則x=t²-1

y= -2(t²-1)+5t= -2t²+5t+1

原函數當t=時取最大值

例4求函數的最小值和最大值

解：令x-1=t ()

則

y_min=

例5.已知實數x,y滿足1£x²+y²£4,求f(x)=x²+xy+y²的最小值和最大值

解：∵

∴

又當時f(x,y)=6，故f(x,y)_max=6

又因為

∴

又當時f(x,y)=，故f(x,y)_min=

例6.求函數的最大值和最小值

解：原函數即

令 (0<t£1) 則y=5t²-t+1

∴當x=±3時，函數有最小值，當x=0時，函數取最大值5

例7.求函數的最大值

解：設，則

f(x)=

由于 0£a<1,故f(x)£，又當x= (k為整數)時f(x)= ,

故f(x)_max=

例8.求函數的最大值

解：原函數即

在直角坐標系中，設點P(x,x²),A(3,2),B(0,1)，則

f(x)=|PA|-|PB|£|AB|=

又當時，f(x)=

故f _max (x) =

例9.設a是實數,求二次函數y=x²-4ax+5a²-3a的最小值m，當0£a²-4a-2£10中變動時，求m的最大值

解：y=x²-4ax+5a²-3a=(x-2a)²+a²-3a

由0£a²-4a-2£10解得：或£a£6

故當a=6時，m取最大值18

例10.已知函數f(x)=log₂(x+1)，并且當點(x,y)在y=f(x)的圖象上運動時，點在y=g(x)的圖象上運動，求函數p(x)=g(x)-f(x)的最大值。

解 因為點(x,y)在y=f(x)的圖象上，所以y=log₂(x+1)。點在y=g(x)的圖象上，所以故

令， 則

當，即時，，所以

從而 。

例11.已知函數的最小值是2，最大值是6，求實數a、b的值。

解：將原函數去分母，并整理得(a-y)x²+bx+(6-2y)=0.

若y=a，即y是常數，就不可能有最小值2和最大值6了，所以y ¹a。于是

D=b²-4(a-y)(6-2y)³0,所以y²-(a+3)y+3a-£0.

由題設，y的最小值為2，最大值為6，所以(y-2)(y-6)£0, 即 y²-8y+12£0.

由(1)、(2)得　 解得：

例12.求函數 的最小值和最大值。

解 先求定義域。由　 最6£x£8.

當xÎ[6,8]，且x增加時，增大，而減小，于是f(x)是隨著x的增加而減小，即f(x)在區間[6，8]上是減函數。所以

f_max(x)=f(8)=0, f_min(x)=f(6)=0

例13.設x,y,z是3個不全為零的實數，求的最大值

分析：欲求的最大值，只須找一個最小常數k，使得xy+2yz£k(x²+y²+z²)

∵ x²+ay²³2xy　 (1-a)y²+z²³2yz

∴ x²+y²+z²³2xy+2yz

令2=,則a=

解：∵

∴

即

又當x=1,y=，z=2時，上面不等號成立，從而的最大值為

例14.設函數f:(0,1)®R定義為求f(x)在區間上的最大值

解：(1)若xÎ且x是無理數，則

f(x)=x<

(2) 若xÎ且x是有理數，設，其中(p,q)=1,0<p<q,由于

63q+9£64q-8，∴q³17

因此

∴f(x)在區間上的最大值

作業：

1.若3x²+2y²=2x,求x²+y²的最大值

2.設x,y是實數，且求u=x+y的最小值

3.已知x₁,x₂是方程x²-(k-2)x+k²+3k+5=0 (kÎR)的兩個實數根，求x₁²+x₂²的最大值和最小值

4.求函數的最小值