一、計算：

例1.化簡

(1)　 (2)

(3)

解：(1)x的指數是

所以原式=1

(2)x的指數是

=0

所以原式=1

(3)原式=

例2.若，求

解：因為

所以f(x)+f(1-x)=1

=

例3.已知m,n為正整數，a>0,a¹1,且

求m,n

解：左邊=

原式為log_a(m+n)=log_amn

得m+n=mn即(m-1)(n-1)=1

因為m,nÎN，所以從而m=n=2

二、比較大小

例1.試比較與的大小

解：令12¹⁹⁹⁵=a>0則

¸=

所以>

例2.已知函數f(x)=log_ax (a>0,a¹1,xÎR⁺)若x₁,x₂ÎR⁺,試比較與的大小

解：f(x₁)+f(x₂)=log_a(x₁x₂)

∵x₁,x₂ÎR⁺,∴ (當且僅當x₁=x₂時，取“=”號)，

當a>1時，有，∴

即 (當且僅當x₁=x₂時，取“=”號)

當a>1時，有，∴

即 (當且僅當x₁=x₂時，取“=”號)

例3.已知y₁=，y₂=，當x為何值時

(1)y₁=y₂　　　　 (2)y₁>y₂　　　　 (3)y₁<y₂

解：由指數函數y=3^x為增函數知

(1)y₁=y₂的充要條件是：2x²-3x+1=x²+2x-5 解得x₁=2,x₂=3

(2)y₁>y₂的充要條件是：2x²-3x+1>x²+2x-5 解得x<2或x>3

(3)y₁<y₂的充要條件是：2x²-3x+1<x²+2x-5 解得2<x<3

三、證明

例1.對于自然數a,b,c (a£b£c)和實數x,y,z,w若a^x=b^y=c^z=70^w (1) (2)

求證：a+b=c

證明：由(1)得：

∴

把(2)代入得：abc=70=2´5´7,a£b£c

由于a,b,c均不會等于1，故a=2,b=5,c=7從而a+b=c

例2.已知A=6lgp+lgq，其中p,q為素數，且滿足q-p=29，求證：3<A<4

證明：由于p,q為素數，其差q-p=29為奇數，∴p=2,q=31

A=6lg2+lg31=lg(2⁶×31)=lg1984

1000<1984<10000　故3<A<4

例3.設f(x)=log_ax (a>0,a¹1)且 (q為銳角)，求證：1<a<15

證明：∵q是銳角，∴，從而a>1

又f(15)==sinq+cosq

=1

故a<15　 綜合得：1<a<15

例4.已知0<a<1,x²+y=0，求證：

證：因為0<a<1，所以a^x>0,a^y>0由平均值不等式

故

四、圖象和性質

例1.設a、b分別是方程log₂^x+x-3=0和2^x+x-3=0的根，求a+b及log₂a+2^b

解：在直角坐標系內分別作出函數y=2^x和y=log₂x的圖象，再作直線y=x和y= -x+3，由于y=2^x和y=log₂^x互為反函數，故它們的圖象關于直線y=x對稱，方程log₂^x+x-3=0的根a就是直線y= -x+3與對數曲線y=log₂x的交點A的橫坐標，方程2^x+x-3=0的根b就是直線y= -x+3與指數曲線y=2^x的交點B的橫坐標

設y= -x+3與y=x的交點為M，則點M的橫坐標為(1.5,1.5)，

所以a+b=2x_M=3　 log₂a+2^b=2y_M=3

例6.設f(x)=min(3+，log₂x),其中min(p,q)表示p、q中的較小者，求f(x)的最大值

解：易知f(x)的定義域為(0,+¥)

因為y₁=3+在(0,+¥)上是減函數，y₂=log₂x在(0,+¥)上是增函數，而當y₁=y₂，即

3+=log₂x時，x=4，所以由y₁=3+和y₂=log₂x的圖象可知

故當x=4時，得f(x)的最大值是2

另解：f(x)£3+=3- (1)　　　 f(x)=log₂x　 (2)

(1)´2+(2)消去log₂x，得3f(x)£6，f(x)£2

又f(4)=2,故f(x)的最大值為2

例7.求函數的最小值

解：由1-3^x>0得，x<0,所以函數的定義域為(-¥,0)

令3^x=t,則tÎ(0,1)，于是

故當x= -1時，得y的最小值-2+2log₂3

五、方程和不等式

例1.解方程(1)x+log₂(2^x-31)=5 　(2) 2^lgx×x^lg2-3×x^lg2-2^1+lgx+4=0

解：(1)原方程即：log₂2^x+log₂(2^x-31) =5

log₂[2^x(2^x -31)]=5　 (2^x)²-31×2^x=32

解得：2^x=32, ∴x=5

(2)原方程即：(2^lgx)²-5×2^lgx+4=0

解得：x₁=100,x₂=1

例2.設a>0且a¹1,求證：方程a^x+a^-x=2a的根不在區間[-1,1]內

解：設t=a^x,則原方程化為：t²-2at+1=0　 (1)

由D=4a²-4³0得a³1,即a>1

令f(t)= t²-2at+1

f(a)=a²-2a²+1=1-a²<0

所以f(t)的圖象與橫軸有的交點的橫坐標在之外，故方程t²-2at+1=0在之外有兩個實根，原方程有兩實根且不在區間[-1,1]內

例3.解方程：lg²x-[lgx]-2=0 (其中[x]表示不大于實數x的最大整數)

解：由[x]的定義知，[x]£x，故原方程可變為不等式：

lg²x-lgx-2£0即-1£lgx£2

當-1£lgx<0時，[lgx]= -1，于是原方程為lg²x=1

當0£lgx<1時，[lgx]=0，原方程為lg²x=2，均不符合[lgx]=0

當1£lgx<2時，[lgx]=1，原方程為lg²x=3，所以lgx=，

當lgx=2時，x=100

所以原方程的解為x₁=

例4.當a為何值時，不等式

有且只有一解

解：易知：a>0且a¹1，設u=x²+ax+5，原不等式可化為

(1)當0<a<1時，原不等式為 (1)

由于當u³0時，與均為單調增函數，所以它們的乘積

也是單增函數

因為f(4)=log₃(2+1)×log₅(4+1)=1

所以(1)等價于u³4,即x²+ax+5³4此不等式有無窮多解

(2)當a>1時，不等式化為 (2)

由f(4)=1知，(2)等價于0£u£4，即0£x²+ax+5£4

從上式可知，只有當x²+ax+5=4有唯一解即D=a²-4=0，a=2時，不等式0£x²+ax+5£4有唯一解x= -1

綜上所述，當a=2時原不等式有且只有一個解

例5.已知a>0且a¹1，試求使方程有解的k的取值范圍

解：原方程即

即

分別解關于的不等式、方程得： (k¹0時)

所以解得k< -1或0<k<1

又當k=0時，代入原式可推出a=0與已知矛盾，故k的取值范圍為(-¥,-1)U(0,1)